L_p空间中的凸体相关的不等式研究

论文摘要

本论文隶属于现代几何分析的中的Lp-Brunn-Minkowski理论（又称为Brunn-Minkowski-Firey理论）的研究范畴,文章利用Lp-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究Lp-空间中的基础理论及相关的几何体的度量不等式和极值问题,主要研究对象包括新椭球Γ-2K、Lp-投影体∏pK、新几何体Γ-pK、径向平均体Rp（K）、混合径向平均体Rp（K,L,μ）、p-截面体CpK、混合p-截面体Cp（K,L）、单形等几何体的体积构成的度量不等式和极值问题,得出了以下主要结果:（1）给出了当多胞形的新椭球是球的一个充要条件,并研究了算子Γ-2的新性质,找到了使算子Γ-2保持单调性的一个集合。作为特例,文章对多胞形的新椭球作了较为详细地研究。（2）设想将n维椭球放在其“标准位置”,证明了当Lp投影体是椭球时的一些性质和相关的不等式。（3）将径向平均体RpK的一些性质推广到混合径向平均体Rp（K,L,μ）,并对混合径向平均体的单调性与变换性质进行了研究,运用极坐标变换和Fubini定理,得出了混合径向平均体与凸体体积关系的不等式。（4）证明了p-截面体的一些新性质,首次给出了混合p-截面体的定义,并将p-截面体及其相关的性质推广到混合p-截面体,通过探讨混合径向平均体Rp（K,L）与混合p-截面体Cp（K,L）的相关性,揭示了截面体、投影体、径向平均体之间的深层联系。（5）对n维空间的质点系的性质进行了探讨,特别对伪对称集与单形的关系进行了的深入研究,给出了对伪对称集的几个等价描述。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 学科综述
• §1.2 本文取得的主要成果简介
• §1.3 论文的结构安排
• 第二章 新椭球的一些性质
• §2.1 概念和预备知识
• §2.2 多胞形的一种刻划
• -2的单调性'>§2.3 算子Γ_-2的单调性
• p投影体的几个不等式'>第三章 关于L_p投影体的几个不等式
• p-投影体的定义和性质'>§3.1 L_p-投影体的定义和性质
• pK的一些不等式'>§3.2 关于Π_pK的一些不等式
• §3.3 定理的应用
• 第四章 混合径向平均体的一些性质
• §4.1 概念和预备知识
• §4.2 关于混合径向平均体的一些结论
• 第五章 p-截面体的性质与推广
• §5.1 预备知识
• §5.2 p-截面体的一些新性质
• §5.3 混合p-截面体
• 第六章 伪对称集与正则单形
• §6.1 预备知识
• §6.2 惯性对称质点系
• §6.3 正则单形的性质
• 参考文献
• 作者在攻读博士学位期间完成的论文
• 致谢