非线性薛定谔方程的高阶紧致分裂多辛格式

论文摘要

这篇论文主要针对不同类型的薛定谔方程提出了一些能做到更精确更省时的新格式,像高阶紧致ADI格式,高阶紧致ADI分裂格式,辛傅里叶拟谱算法以及高阶紧致分裂多辛格式.我们对格式的稳定性,守恒性,保辛性等性质进行了详细的理论分析并利用具体的数值实验验证对应的理论性质.在第2章中,我首先引入了一些有关辛几何和辛空间的基本知识,然后介绍一些解决薛定谔方程的常用格式,如高阶紧致格式,分裂格式,交替方向隐式方法.这些方法都各具优势,包括高精度性,省时性,保辛性,快捷性.最后我们主要学习了有关辛算法和Runge?kutta方法的理论知识.在第3章中,我们先针对二维线性薛定谔方程设计了高阶紧致离散与交替方向隐式方法结合的算法.经过理论分析,该算法无条件稳定并且能够保证两个离散守恒.接着,我们提出了具有高精度和省时性的高阶紧致ADI分裂格式来处理二维的非线性薛定谔方程.在该法的基础上,我们继续延伸到三维问题上,主要选用高阶紧致方法和Douglas ADI方法相结合的方法,理论证明其具有无条件稳定性.最后,我们利用具体的数值实验证明了理论分析的省时,高精度方面的优越性.在第4章中,我们主要研究辛傅里叶拟谱算法来解决KGS方程组,并且提出了与其他有关文献不同的哈密尔顿公式.我们先用拟谱方法对有限维的哈密尔顿系统进行空间离散,继而分别用Sto¨rmer/Verlet算法和中点欧拉方法做时间离散.据分析Sto¨rmer/Verlet算法是显式的,所以具有程序运算快捷的特点,而中点欧拉方法具有准确模拟原问题的优势.最后我们利用具体的范例数据验证了该法能长时间的模拟各种孤子波形.在第5章中,我们提出了高阶紧致分裂多辛格式解决耦合的非线性薛定谔方程.通过理论分析该格式具有无条件稳定性和空间方向可达六阶精度的优势,并且它还满足一系列守恒律,包括多辛守恒律,电荷守恒,能量守恒,动量守恒.其中分裂方法对于省时性方面有主要贡献,我们设计了不同类型的数值试验来分别验证该法的有效性和快捷性.

论文目录

• Abstract
• 摘要
• 1 Introduction
• 2 Preliminaries
• 2.1 Symplectic geometry and symplectic space
• 2.2 Discrization for the Schr¨odinger equations
• 2.2.1 High order compact method for the spatial approximation
• 2.2.2 Temporal discrization for the Schr¨odinger equation
• 2.3 Symplectic and Runge-Kutta methods
• 2.3.1 Symplectic methods
• 2.3.2 Runge-Kutta methods
• 3 HOC-ADI scheme for multi-dimensional Schr¨odinger equations
• 3.1 HOC-ADI scheme for the 2D LS equations
• 3.1.1 Construction of HOC-ADI scheme
• 3.1.2 Theoretical analysis
• 3.2 HOC-ADI splitting approach for 2D NLS equations
• 3.3 Extension to the three-dimensional LS equations
• 3.4 Numerical examples
• 4 Symplectic Fourier pseudo-spectral schemes for the Klein-Gordon-Schr¨odinger equation
• 4.1 Construction of symplectic Fourier pseudo-spectral scheme
• 4.2 Numerical tests
• 5 HOC splitting multi-symplectic scheme for the CNLS equations
• 5.1 Framework of HOC splitting multi-symplectic scheme
• 5.1.1 Multi-symplectic structure for the CNLS equations
• 5.1.2 Splitting multi-symplectic technique for the CNLS equations
• 5.1.3 Discretization for the linear subproblem
• 5.1.4 Discretization for the nonlinear subproblem
• 5.2 HOC-SMS scheme for the CNLS equations
• 5.3 Discrete conservation laws
• 5.4 Numerical Verifications
• 6 Conclusions and Prospects
• Bibliography
• Acknowledgements
• Publications