对称约化在非线性演化方程的初值问题和群分类中的应用

论文摘要

非线性科学被深入研究并广泛应用到了各个自然科学领域中.如化学,数学,生物学,物理,经济学等等.同时涌现了大量的非线性系统.在研究过程中我们遇到各种各样的非线性偏微分方程.其解法以及解的性质等问题是非线性科学的重要组成部分.人们已经建立和发展了很多求解非线性偏微分方程的有效方法.其中对称群理论是我们研究非线性偏微分方程精确解的有效方法之一.随着对非线性理论的研究,出现许多非线性偏微分方程依赖于一个小参数,通常称为扰动（近似）偏微分方程,需要寻求它们的近似解.以非扰动方程的理论框架为基础,人们对扰动方程进行了相关的分析,得到了许多有效的结论.一些以对称理论为基础的扰动方法相继产生.第一章,介绍了研究工作的背景,现状,基本理论和本文的主要工作.第二章,利用广义条件对称方法讨论了三阶演化方程ut=F（u,ux）Uxxx+G（u,ux,uxx）,F（u,ux）≠0和四阶演化方程ut=-F（u）uxxxx-G（u,ux）uxxx+H（u,ux,uxx）,F（u）≠0初值问题的分类和对称约化,并得到其解.第三章,将广义条件对称方法进行推广,并成功地用于非线性偏微分方程组ut=f（u,v）uxx+9（u,v）,f（u,v）≠0 vt=p（u,v）vxx+g（u,v）,p（u,v）≠0初值问题的分类和对称约化.第四章,我们将该方法成功地推广到了扰动方程的情形,利用近似广义条件对称方法解决了扰动KdV-Burger方程ut=guxxx+（?）G（u）uxx+F（u,ux）,g≠0和扰动的反应扩散型方程ut=（A（u）ux）x+（?）B（u）ux+Q（u）的初值问题的分类和对称约化.第五章,讨论了波动方程utt=f（x,u,ux）uxx+g（x,u,ux）的初等群分类问题.在本文的最后给出主要的研究结论和今后的研究工作.本文的创新与特色是：（1）在研究对象上,主要研究了具有实际应用物理背景的非线性偏微分方程（组）,从单个方程到方程组的情形,以及从非扰动方程到扰动方程的情形.（2）在方法上,我们将该方法推广到了方程组初值问题的对称约化上.提出了一种解决扰动方程初值问题的方法,利用近似广义条件对称方法解决扰动方程初值问题.（3）在内容上,我们解决了方程组和扰动方程初值问题的对称约化,并得到约化后方程的解,为进一步研究这些方程提供了重要的信息.同时,我们研究了一类波动方程的初等群分类问题.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 基本理论
• 1.3 主要工作
• 第二章 演化方程初值问题的对称约化
• 2.1 初值问题约化理论
• 2.2 三阶演化方程初值问题的对称约化
• 2.2.1 背景
• 2.2.2 分类结果
• 2.2.3 例子
• 2.3 四阶演化方程初值问题的对称约化
• 2.3.1 背景
• 2.3.2 分类结果
• 2.3.3 例子
• 第三章 方程组初值问题的对称约化
• 3.1 基本理论
• 3.2 方程组的分类
• 第四章 扰动方程初值问题的对称约化
• 4.1 扰动初值问题约化理论
• 4.2 扰动KdV-Burger方程初值问题的对称约化
• 4.3 扰动反应扩散型方程初值问题的对称约化
• 第五章 一类波动方程的分类问题
• 5.1 背景
• 5.2 等价代数
• 5.3 构造优化系统
• 总结与展望
• 参考文献
• 攻博期间取得的科研成果和基金项目
• 致谢