两类分形集的Hausdorff测度

论文摘要

分形几何是上世纪70年代中期发展起来的一门新兴的学科,它为研究自然界中一些不规则集提供了新的思想、方法和技巧,已引起科学界的极大关注。正如Falconer在[9]中所述:“过去,数学已广泛涉及到那些可以用经典的微积分进行研究的集类和函数类,而那些不够光滑和不够规则的集和函数却被认为是‘病态’的,不值得研究而不被理睬。近几年来,这种态度发生了变化,人们已经意识到,对‘不光滑集’可以而且必须进行详细的数学描述,不规则集比经典的几何图形能更好的反映许多自然现象,分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了一个总的框架。”特别在近年来,分形几何这一新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科的研究和应用中获得巨大成功,同时,不同学科中提出的大量问题又刺激了分形几何的深入发展。因此,分形几何的诞生和发展对整个科学的发展有极为重要的意义,正如M. F. Shlesinger在[14]中指出:“20世纪的后半期似乎是科学与数学变得更加专门化的时期。令人瞩目的是,在前一个十年,下述两个课题使上述趋势得以逆转:非线性动力学与分形。前者涉及到运动的非线性确定方程的一般普适行为,而后者则是研究自相似或自防射对象的几何以及该几何上的动力学。两者均已应用到一系列深刻的交叉学科的问题中。” 分形几何主要研究问题之一是分形集的许多形式的维数,如Hausdorff维数,填充维数,Minkowski维数等。这些维数用以度量分形集的不规则性和裂碎程度;从几何角度看,它们反映了集合的填充空间的能力,是描述集合分形特征的重要参数。分形几何研究的另一个重要问题是计算分形集的Hausdorff

论文目录

• 前言
• 第一章 预备知识
• 1 Hausdorff测度
• 1.1 测试论基础知识
• 1.2 Hausdorff测试
• 2 Hausdorff维数
• 3 常用技巧
• 第二章 自相似集
• 1 满足开集条件的自相似集的Hausdorff测度
• 2 一类齐次Cantor集的Hausdorff测度
• 第三章 MORAN集的HAUSDORFF测度
• 1 基本概念和性质的介绍
• 2 一类Moran集的Hausdorff测度的精确值
• 参考文献
• 致谢