完全正矩阵与NEVILLE消去

论文摘要

如果一个实矩阵所有的子式都非负，就称其为完全正矩阵，简称TP矩阵；而当其所有子式都为正时，则称之为严格完全正矩阵，简称STP矩阵。TP和STP这两类矩阵在组合、概率论、随机过程、表示论、和逆问题等众多的数学分支中都有大量的应用。M．Gasca等人通过对插值公式和消去技巧的研究提出了一种称为Neville消去的方法。这一方法已成为处理TP和STP这类矩阵的有力工具。Neville消去的实质就是进行矩阵打洞的过程，只不过它要求在进行每一步操作时都从最后一行开始，依次对每一行加上前一行的某一倍数，使矩阵的某一列产生零元素。这样对一个n阶矩阵，在进行n-1步操作后最终得到一个上三角形矩阵．本文将利用Neville消去来对完全正矩阵做若干研究．全文可分四个部分： 第一部分，我们对TP和STP矩阵的研究历史和用Neville消去得到的一些重要结果进行了一个简要回顾． 第二部分，我们把由M．Gasca等人提出的Neville消去应用于对长方形STP矩阵的研究，并证明了任一长方形矩阵是STP矩阵当且仅当其可以唯一的分解成一些两对角TP矩阵的乘积。我们同样把这种由Neville消去得到的分解称之为Neville分解。同时我们总结了Gasso等人用Neville消去对长方形TP矩阵和一般实矩阵的分解结果。 本文第三部分主要讨论了完全正矩阵的一种推广，即具有连续列性质或连续行性质的矩阵。这里矩阵具有连续列性质，简称CC性质，指的是对一个定义在有单位元的环上的矩阵，对所有k，由其连续的k行和前k列组成的子矩阵都可逆；类似的连续行性质，简称CR性质，指的是对所有k，由其连续的k列和前k行组成的子矩阵都可逆。对于这类一般的矩阵，M．Fiedler首先证明了任意阶矩阵具有CC和CR性质当且仅当其可以唯一的分解成一些两对角矩阵的乘积，并且每一个两对角矩阵的非零元都可逆．我们在M．Fiedler对方阵证明的结果上，对具有CC和CR性质的长方形矩阵这一情况给出了一种简单的证明，并给出了原矩阵和相应的分解矩阵中元素的一一对应关系。 最后，我们对J．M．Pena关于TP矩阵和局部有限有向图关系的研究和S．Fomin等人对TP矩阵和平面网络的研究进行了总结，同时在S．Fomin等人的研究基础上给出了n阶STP矩阵Neville分解的平面网络表示。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引言
• 1.1 研究背景
• §1.2 预备知识
• §1.3 本论文的主要贡献
• 第二章 完全正矩阵
• §2.1 Neville消去
• §2.2 STP矩阵的Neville分解
• §2.3 k阶TP矩阵和Monge矩阵
• §2.4 一般的TP矩阵的分解
• 第三章 特殊矩阵的Neville分解
• §3.1 对具有连续行和连续列性质的一般矩阵的Neville分解
• §3.2 一般化的TP和STP矩阵
• 第四章 图和TP矩阵
• §4.1 图和TP矩阵的关系
• §4.2 TP和STP矩阵Neville分解的平面网络表示
• 参考文献
• 致谢