几何代数在计算机视觉三维重建中的应用

论文摘要

计算机视觉三维重建技术主要研究如何利用二维投影图像恢复三维场景目标的问题。三维重建在战场三维地形模拟、目标监测以及空间定位等军事领域有巨大的应用价值。在计算机视觉中,一般都是采用标准线性代数工具对相关问题进行分析和处理,这里将引入一个新的数学工具-几何代数。本文将在几何代数框架下对三维重建相关问题进行研究。几何代数是一个集几何特点和代数特性于一体的数学系统。本文详细分析了外积、内积、几何积这三个基本运算之间的区别与联系。按照代数逻辑关系,对几何代数中的重要运算进行了细致的说明。与线性代数相比,无坐标表示的思想是几何代数最重要的特点,其丰富的符号表示为几何计算的简化提供了强有力的工具。投影几何是研究三维重建的基础。本文运用几何代数对投影空间进行重新描述。利用几何积,通过投影分离,建立了投影空间和矢量空间之间的联系。重点介绍了点、线、面的几何代数表示,并确立了它们之间的几何联接关系。利用括号计算和对偶框架,简洁直观地阐述了针孔摄像机成像的几何原理。不变量在三维重建技术研究中发挥着重要的作用。文中对投影空间中的交比不变量作了深入分析和扩展。根据线性变换不变性,推导出了交比的一维直线表示形式,并对其表示形式作了拓展性的分析和说明。双目视觉几何在三维重建中起着十分重要的作用。本文利用几何代数对极几何进行了分析和讨论,给出了无矩阵表示的基础矩阵形式,并利用括号计算表示出了极线几何约束,建立起双目视觉中的几何对应关系,并推导出立体视觉中的不变量表示形式。利用参考点进行三维重建,不需对相机进行标定,从而避免了标定过程所遇到的问题。利用交比不变量和场景中的平行四边形条件来确定另外两个参考点,把参考点的数目从六个减为四个,减少了由于计算参考点而带来的工作量。本文根据已知的参考点,场景几何信息,两次利用交比不变量成功实现了空间点位置的确定。实验结果表明在一定精度范围内,该方法能正确计算出空间点的位置。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 计算机视觉理论框架
• 1.3 相关研究现状
• 1.3.1 几何代数研究现状
• 1.3.2 三维重建研究现状
• 1.4 论文背景和研究内容
• 1.4.1 选题背景及意义
• 1.4.2 研究内容
• 1.4.3 论文结构
• 第二章 几何代数
• 2.1 基于空间描述的几何代数
• 2.1.1 外积
• 2.1.2 内积
• 2.1.3 几何积
• 2.2 基于代数描述的克利福德代数
• 2.2.1 几何积
• 2.2.2 矢量
• 2.2.3 内积和外积
• 2.3 几何代数基本运算
• 2.3.1 阶数投影运算
• 2.3.2 倒置运算
• 2.3.3 逆
• 2.3.4 伪标量计算和对偶表示
• 2.3.5 交和并
• 2.3.6 线性变换
• 2.3.7 倒数框架
• 2.4 几何代数的简单应用
• 2.5 小结
• 第三章 投影几何
• 3.1 简介
• 3.2 投影几何基础
• 3.3 点、直线和平面表示
• 3.3.1 点的表示
• 3.3.2 直线表示
• 3.3.3 平面表示
• 3.4 基本几何元素间的几何关系
• 4 中平面的相交'>3.4.1 P⁴中平面的相交
• 4 中直线的相交'>3.4.2 P⁴中直线的相交
• 3.4.3 交并运算的括号表示
• 3.4.4 倒数框架的括号表示
• 3.4.5 点框架的拓展
• 3.5 针孔摄像机几何
• 3.6 本章小结
• 第四章 立体视觉与不变量
• 4.1 简介
• 4.2 不变量的表示
• 4.2.1 交比的一维表示
• 4.2.2 交比的二维表示
• 4.2.3 交比的三维表示
• 4.3 立体视觉
• 4.3.1 视觉几何
• 4.3.2 不变量扩展到两个视角
• 4.3.3 不变量的选取
• 4.4 小结
• 第五章 三维重建
• 5.1 引言
• 5.2 基于参考点的重建方法
• 5.2.1 点的确定
• 5.2.2 三维重建方法
• 5.2.3 实验结果
• 5.3 小结
• 第六章 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• 作者在学期间取得的学术成果