论文摘要
Artin代数表示论的主要目的就是用一个代数的模范畴的性质来刻画这个代数。用模论来研究代数的好处之一是我们可以应用范畴理论和同调代数。从上个世纪40年代开始,同调代数逐渐地被广泛应用于数学和物理。在数学中,一个著名的结论是Auslander-Buchbaum-Serre定理。这个定理说,一个代数簇是光滑的充要条件是它的坐标环的整体维数是有限的。这样,一个几何上的光滑性就完全用代数的同调性质刻画了。然而,许多的代数簇所对应的坐标环的整体维数可能是无限的。为了得到进一步的信息,人们引入了有限维数的概念。在一定程度上,它可以更好的反映代数的同调复杂性。有限维数是同调不变量之一,其定义为投射维数有限的有限生成模的投射维数的上确界。有限维数猜想为任意Artin代数的有限维数都是有限的。此猜想是代数表示论和同调代数中一个非常著名的猜想,至今已有将近50年的历史,仍然没有解决。有限维数猜想不是一个孤立的猜想,它还和许多其它的著名猜想密切相关。下面列举了一些代数表示论中仍然没有完全解决的猜想,以及它们和有限维数猜想之间的关系。（1）若有限维数猜想成立,则强Nakayama猜想成立。（2）若强Nakayama猜想成立,则广义的Nakayama猜想成立。（3）若广义的Nakayama猜想成立,则Nakayama猜想成立。（4）若有限维数猜想成立,则Gorenstein对称猜想成立。对有限维数猜想的研究有助于进一步了解和认识这些猜想,也因为对有限维数猜想的进一步研究产生了一系列新的概念和方法,所以受到越来越多的关注。本文用有限型子范畴,表示维数和代数的整体维数来刻画一个代数及其子代数的有限维数,得到了一大类代数,其有限维数是有限的。有限表示型的Artin代数对整个Artin代数的表示理论起着非常重要的作用。Auslander证明了有限表示型的Artin代数与整体维数小于等于2,支配维数大于等于2的Artin代数之间有一个一一对应,见[1],受这个对应的启发,Auslander提出了表示维数的概念,用来衡量一个Artin代数与有限表示型的Artin代数之间的距离。1998年,Reiten提出了一个问题:任意Artin代数的表示维数是否是有限的?2002年,Iyama给出了一个肯定的回答,见[2]。2005年,Igusa和Todorov在[3]中证明了若Artin代数A的表示维数不超过3,则A的有限维数是有限的。由于表示维数与有限维数猜想有密切的关系,所以引起了人们极大的兴趣。本文用相对整体维数来刻画表示维数,并给出了它们之间的一个关系。第一章给出引言和预备知识。第二章定义了相对整体维数,讨论了相对整体维数与表示维数的关系,刻画了x和Fx的一些性质,并构造了Fx-cotilting模和Fx-tilting模,主要结果如下:定理2.2.6设A为Artin代数,记V=A⊕D（A）,x=add V=add（A⊕D（A））。则rep.dim A≤gl.dimFxA+2。定理2.2.11设A为遗传代数,则gl.dimFxA≤1。定理2.2.15设A为quasi-tilting代数.则gl.dimFxA≤2。定理2.3.6设M∈A-mod,则M同构于某模N的直和项,其中N在x中有一个Fx-滤链当且仅当M∈x。定理2.4.6设A为Artin代数,记V=A⊕D（A）,x=add V=add（A⊕D（A））。则V为Fx-cotilting模。第三章用有限型子范畴来刻画Artin代数的有限维数,证明了带有某些有限型子范畴的Artin代数A的有限维数是有限的,研究了满足适当条件的Artin代数的子代数的有限维数,得到了几类Artin代数,其有限维数是有限的。主要结果如下:定理3.2.1设A为Artin代数,且gen DA为有限型子范畴。则A的有限维数是有限的。定理3.2.6设A为弱稳定遗传代数。则A的有限维数是有限的。定理3.2.7设A为Artin代数,x为A-mod的反变有限子范畴。如果cogenx是有限型子范畴,且x（?）p,则A的有限维数是有限的。定理3.3.7设B为Artin代数A的子代数,且rad B为A的理想,若gl.dimA≤2,则B的有限维数是有限的。定理3.3.9设C（?）B（?）A为Artin代数A的子代数的链,且rad C为B的左理想,rad B为A的左理想.若gl.dim A≤1,则C的有限维数是有限的。定理3.4.2设A,B为Artin代数,φ∶B→A为代数满同态,kerφ（?）soc（BB）。若cogen A为有限型子范畴,则B的有限维数是有限的。推论3.4.4设A,B为Artin代数,φ∶B→A为代数满同态,kerφ（?）soc（BB）。若A为弱稳定遗传代数,则B的有限维数是有限的。第四章考虑一对代数A和eAe,其中e为Artin代数A的幂等元,推广了Igusa和Todorov在[3]中的一个结果,证明了若A的表示维数不超过3,则eAe的有限维数是有限的。从而推导出若拟遗传代数的表示维数都不超过3,则有限维数猜想成立。主要结果如下:定理4.2.1设A为Artin代数,e为A中的幂等元,B=eAe.若rep.dim A≤3,则B的有限维数是有限的。定理4.2.2对任意的拟遗传代数A,若rep.dim A≤3,则有限维数猜想成立。定理4.2.3设A为Artin代数,e为A中的幂等元,B=eAe。若add{ΩA3（X）|X∈A-mod}为有限型子范畴,则B的有限维数是有限的。定理4.2.4设A为Artin代数,e为A中的幂等元,B=eAe.若gl.dim A≤3,则B的有限维数是有限的。第五章讨论了同调分层系统的性质,给出了同调分层系统猜想成立的几个充分条件,并且刻画了一定条件下分层系统和有限维数,整体维数的关系。主要结果如下:定理5.3.2设（θ,≤）为尺度为t的分层系统,（θ,Q,≤）为与（θ,≤）相关的Ext-投射分层系统。若F（θ）∩cogen Q为A-mod中的有限型子范畴,则pfd F（θ）是有限的。定理5.3.6设（θ,≤）为尺度为t的标准分层系统,若F（θ）关于子模闭,则有如下结论:（1）所有的无扭模都在F（θ）中。（2）若pd Y＜∞,则gl.dim A=fin.dim A。定理5.3.7设A为拟遗传代数,T为特征倾斜模.若F（△）（?）（add T）∧,则gl.dim A=pd T。