论文摘要
设Kv为完全图,F为Kv的一个一因子（当v≡0（mod2）时）,若（?）mi,3≤mi≤v,i=1,2,…,t,满足条件：Kv（或Kv-F）=C1+C2+…+Ct,其中Ci的长度为mi,则称Kv（或Kv-F）可以被mi长圈分解.显然,完全图可以被mi长圈分解的必要条件为：（i）3≤mi≤v,i=1,2,…,t；（ii）m1+m2+…+mt=v（v-1）/2（v≡1（mod2））；m1+m2+…+mt=v（v-2）/2（v≡0（mod2））.关于这个必要条件是否也充分的问题由Alspach在1981[1]年提出.因此,被称为Alspach猜想.这是一个非常大的猜想,要完全证明这个猜想是很困难的.自Alspach提出这个猜想以来,已证明成立的只有以下几种情况：（1）v≤14；（2）m1=m2=…=mt；（3）mi∈A,i=1,2,…,t.A∈{{3,4,5},{3,4,6},{4,6,8},{4,10},{6,10},{8,10},{3,v},{v-2,v-1,v}}∪{{2k,2k+1}（?）│k≥2}.本文主要是通过对前人证明方法的综合应用,证明当mi∈{3,4,8}时猜想成立.因为有3长圈,3为奇数,而完全二部图是不可能出现奇长圈的,这就使得在构造过程中遇到了困难,所以这里我们应用了一些技巧和方法.本文第二章第一部分证明了当v≡0（mod2）时本文的结论成立.首先给出了将会用到的引理,然后主要运用了若存在相应的GDD,PBD,则它们可将Kv-F分解为若干个小阶数的子图,再通过讨论解的情况将这些小阶数子图分解,就可得到结论.并不是所有情形都可以顺利的用一种GDD或PBD来解决,在这时候,就要根据实际情况再用另外的GDD来重新对Kv-F进行分解,讨论.此外还有一些小阶数的没有相应的GDD,就要另外再用其他方法来解决这个问题,比如特殊情况下的具体构造.第二部分是对于v≡1（mod2）时情况的证明.在证明时首先运用了在mi∈{4,6,8}证明过程中用到的方法,即构造路图,拆图重组.本节一开始就给出了v≡1（mod2）时要用的重要引理,即若Kv-4的{3,4,8}-分解已经得到,则Kv的{3,4,8}-圈分解中,C8的个数z≥（v-1）/2时就可以得到,再通过把Kv表示成几个图的并的方法来解决C8的个数z<（v-1）/2的情况.这样,v≡1（mod2）时的情况就都得到了.第三章的内容是把第二章简单概括,从而得到本文的重要定理：定理当mi∈{3,4,8}时,Alspach猜想成立（即Kv（或Kv-F）的{3,4,8}-圈分解存在）.