约束Hamilton系统的量子对称性及其应用

论文摘要

本文回顾了约束Hamilton 系统的多种量子化方案, 着重叙述了Faddeev-Senjanovic（FS）路径积分量子化方案。基于有限自由度系统相空间Green函数的生成泛函,文中导出了正规/奇异Lagrange 量系统在整体变换下不变的量子正则Noether 定理,并将此量子对称性用于Emden 方程,指出经典对称所联系的守恒量在量子理论中不再保持;用于电子-声子相互作用系统,说明一些经典守恒量在量子水平下仍旧保持;导出了有限自由度系统在定域变换下不变的量子正则Noether 恒等式;导出整体变换下规范场在量子水平下的变换性质方程,用于非Abel Chern-Simons（CS）场,求出了量子BRST 荷,讨论了量子水平下场的共形对称性。Poincaré-Cartan（PC）积分不变量在经典力学和场论中占重要地位,在经典理论中由于它和系统的运动方程等价,可视为动力学的一个基本原理。本文从相空间Green 函数的生成泛函出发,考虑系统的在增广相空间中的变换性质,沿量子系统的运动轨线,导出了普遍情况下场论中正规/奇异Lagrange 量系统的量子PC 积分不变量并推广到了高阶微商系统。证明了当场变量变换的Jacobi 行列式不为1 时,仍可导出量子PC 积分不变,这与量子Noether（第一）定理是不同的。指出了在量子水平下该不变量与量子正则方程等价,从而把经典水平下的PC 积分不变量推广到了量子水平。并讨论了量子PC 积分不变量与正则方程、正则变换和Hamilton-Jacobi 方程之间的联系。由于任意子在凝聚态方面的应用占重要地位而引起人们广泛关注,在场论水平可以用CS 理论来描述任意子的分数自旋和分数统计性质。本文对含CS 项与极化子耦合的模型进行了（FS 路径积分）量子化,研究了其量子对称性,利用量子Noether（第一）定理,得到了量子水平下的守恒量和分数自旋性质。并对含CS 项的O（3）非线性σ模型的Abel 理论与非Abel 理论分别进行了量子水平下对称性的研究,同样得到分数自旋性质。在非Abel CS 理论中系统的量子守恒角动量与经典Noether定理导出的结果不同之处在于还必须考虑鬼粒子对系统角动量的贡献,不能简单的认为经典理论中的结论在量子理论中仍保持有效。

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第1章绪论

1.1 约束 Hamilton 系统量子化和对称性

1.2 Poincaré-Cartan（PC）积分不变量

1.3 任意子的Chern-Simons（CS）理论

1.4 各章提要

第2章约束Hamilton系统及其量子化方法

2.1 约束 Hamilton 系统

2.2 约束Hamilton 系统量子化方法

2.2.1 正则量子化方法

2.2.2 路径积分量子化方法

2.2.3 其他量子化方法

2.3 FS 路径积分量子化方案

2.4 本章小结

第3 章约束Hamilton 系统量子对称性质

3.1 量子正则 Noether 定理

3.1.1 量子正则Noether 定理

3.1.2 Emden 方程

3.1.3 电子-声子相互作用

3.2 量子正则 Noether 恒等式

3.2.1 量子正则Noether 恒等式

3.2.2 例子

3.3 量子水平下场的变换性质

3.3.1 量子水平下场的变换性质方程

3.3.2 非Abel Chern-Simons 理论

3.3.2.1 BRST 对称性

3.3.2.2 共形对称性

3.4 本章小结

第4 章量子Poincaré-Cartan（PC）积分不变量

4.1 一阶微商系统的量子 Poincaré-Cartan 积分不变量

4.1.1 量子 Poincaré-Cartan 积分不变量

4.1.2 量子 Poincaré-Cartan 积分不变量和量子正则方程

4.1.3 量子 Poincaré-Cartan 积分不变量和正则变换

4.2 高阶微商系统的量子 Poincaré-Cartan 积分不变量

4.2.1 量子 Poincaré-Cartan 积分不变量

4.2.2 量子 Poincaré-Cartan 积分不变量和量子正则方程

4.2.3 量子 Poincaré-Cartan 积分不变量和正则变换

4.2.4 量子 Poincaré-Cartan 积分不变量和 Hamilton-Jacobi 方程

4.3 本章小结

第5 章 Chern-Simons 理论与分数自旋

5.1 任意子的Chern-Simons 理论

5.2 Chern-Simons 项与极化子耦合系统的量子对称性理论

5.2.1 Faddeev-Senjanovic（FS）路径积分量子化

5.2.2 分数自旋与分数统计

5.2.3 含有Maxwell 动力学项的Chern-Simons 项与极化子耦合的系统

5.3 含Hopf 项和Maxwell-Chern-Simons（MCS）项O（3）非线性σ模型的分数自旋和分数统计性质

5.3.1 O（3）非线性σ模型和 FS 路径积分量子化

5.3.2 分数自旋

5.4 非Abel Chern-Simons 理论中量子水平的分数自旋性质

5.4.1 O（3）非线性σ模型的非Abel CS 理论

5.4.2 分数自旋

5.5 本章小结

总结

参考文献

攻读硕士学位期间所发表的学术论文

致谢

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