力学系统中的高阶运动微分方程与对称性和守恒量

论文摘要

现代分析力学的研究主要包括两个方面:一、高阶运动微分方程的研究;二、力学系统的对称性与守恒量的研究。针对以上两个方面内容,我做了一些有意义的理论研究工作,并取得了一定的成果:1.利用Mathematica数学软件计算了函数r = r （ q （ t ）,t）各变量之间偏导和高阶导数的关系,发现它们遵守杨辉三角形规律。结合杨辉三角形的对称性规律和牛顿第二定律,推导出n-1阶力变率和n-1阶速度能量所满足的高阶运动微分方程,它们描述了力学系统的2n-m+1阶运动微分方程。通过进一步发展理想约束的概念,推导出了完整理想约束系统下的高阶运动微分方程。2.发现了高阶Lagrange函数与广义坐标的函数关系,并结合Lagrange方程,利用高阶Lagrange函数推导高阶运动微分程,它们描述了力学系统的n-m+3阶运动微分方程,并举例说明了它们的应用。3.研究了等时变分和微分的无限小变换的生成元向量以及它们的n次扩展,利用微分与变分的关系推导了力学系统的守恒量。4.研究了不同力学系统的三阶Lagrange方程,给出了它们的Noether对称性判据和守恒量,再研究了完整力学系统和完整有势力学系统三阶Lagrange方程的Mei对称性判据、结构方程和守恒量,并讨论了Noether对称和Mei对称的联系。最后举例说明结果的应用。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 第一章 分析力学的发展过程
• 1.1 传统分析力学的回顾
• 1.2 现代分析力学的进展
• 第二章 高阶运动微分方程
• 2.1 利用杨辉三角形对称性推导高阶运动微分程
• 2.1A 函数满足的杨辉三角形对称性规律
• 2.1B 函数满足的两个方程
• 2.1C 高阶运动微分方程
• 2.1D 完整理想力学系统的高阶运动微分方程
• 2.2 利用高阶Lagrange 函数推导高阶运动微分程
• 2.2A 高阶 Lagrange 函数满足的两个高阶运动微分方程
• 2.2B 高阶运动微分方程的推导
• 2.2C 高阶微分方程的应用
• 2.2D 高阶正则方程
• 第三章 三阶运动微分程的对称性与守恒量
• 3.1 利用微分与变分的关系推导力学系统的守恒量
• 3.1A 非等时变分、等时变分、微分的无限小变换的生成元向量
• 3.1B 利用生成元向量推导 Noether 等式和守恒量
• 3.1C 三阶 Lagrange 动力学系统的守恒量的推导
• 3.2 三阶运动微分程的Noether和Mei 对称性与守恒量
• 3.2A 力学系统的三阶 Lagrange 方程
• 3.2B 三阶 Lagrange 方程的 Noether 等式和 Noether 守恒量
• 3.2C 系统的 Mei 对称性与 Mei 守恒量
• 3.2D 系统 Noether 对称性与 Mei 对称性的联系
• 3.2E 举例
• 结语
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间取得的科研成果