欧氏空间中直纹面的伴随曲面

论文摘要

微分几何是一门历史悠久的学科.甚至可以这样说,在微积分诞生的同时就诞生了微分几何,不过这门学科的生命力至今仍很旺盛.近年来它对其他分支的影响也越来越深刻,对于自然学科中其他学科的影响范围也越来越广.与此同时这门学科本身从内容到方法也在不断更新.曲线论与曲面论是微分几何中两大重要内容,其中直纹面由于具有很好的性质在曲面论中占据十分重要的地位,受到曲线论中伴随曲线对(如Bertrand曲线对,Mannheim曲线对)思想的启发,联想到研究曲面论中直纹面及其伴随曲面的对应关系问题.三维欧氏空间中的直纹面可以是可展曲面,也可以是极小曲面,单叶双曲面和双曲抛物面.本文用微分几何的方法,从三维欧氏空间中的直纹面出发,分别讨论以上四类直纹面的伴随曲面的性质.第一章介绍本文的研究背景及相关的基础知识,如欧氏空间、直纹面、可展曲面、极小曲面、单叶双曲面、双曲抛物面的定义和性质等.第二章对一般形式的直纹面及其伴随曲面的各个基本量,高斯曲率及平均曲率进行对比和分析.第三章研究三类可展曲面的伴随曲面.第四章讨论两类极小直纹面的伴随曲面.第五章分别讨论单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面.最后一章对本文工作进行总结与展望.

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第1章 引言与预备知识
• 1.1 引言
• 1.2 三维欧氏空间
• 1.2.1 三维欧氏空间的定义
• 1.2.2 三维欧氏空间中的标架
• 1.3 三维欧氏空间中向量的运算及Frenet公式
• 1.3.1 三维欧氏空间中向量的内积,外积,混合积
• 1.3.2 三维欧氏空间中曲线的Frenet公式
• 1.4 曲面的基本量
• 1.4.1 曲面的第一基本量
• 1.4.2 曲面的第二基本量
• 1.4.3 曲面的平均曲率和高斯曲率
• 1.5 三维欧氏空间中的直纹面
• 1.5.1 直纹面的定义
• 1.5.2 直纹面的性质
• 1.5.3 直纹面伴随曲面的定义
• 第2章 直纹面的伴随曲面
• 2.1 直纹面的基本量
• 2.2 伴随曲面的基本量
• 第3章 可展曲面的伴随曲面
• 3.1 柱面的伴随曲面
• 3.2 锥面的伴随曲面
• 3.3 切线曲面的伴随曲面
• 3.3.1 切线曲面的基本量
• 3.3.2 切线曲面的伴随曲面基本量
• 第4章 极小曲面的伴随曲面
• 4.1 平面的伴随曲面
• 4.2 正螺面的伴随曲面
• 4.2.1 正螺面的基本量
• 4.2.2 正螺面的伴随曲面的基本量
• 第5章 单叶双曲面和双曲抛物面的伴随曲面
• 5.1 单叶双曲面的伴随曲面
• 5.1.1 单叶双曲面的基本量
• 5.1.2 单叶双曲面的伴随曲面基本量
• 5.2 双曲抛物面的伴随曲面
• 5.2.1 双曲抛物面的基本量
• 5.2.2 双曲抛物面的伴随曲面基本量
• 第6章 总结
• 参考文献
• 致谢