一般最小低阶混杂理论的某些研究

论文摘要

两水平的正规部分因析设计是众所周知的并被广泛应用于各个领域的试验中.这些设计的一个突出特点是它们有简单的别名结构,任意两个效应要么正交,要么完全别名.效应排序原则是试验设计中最重要的原则之一（Wu and Hamada（2000））.这个原则要求,在试验设计中,低阶效应比高阶效应重要,同阶效应同等重要.因此,为了选择好的设计,我们应该最小化低阶效应之间的混杂关系.出于这一目的,现有文献提出了几个最优性准则,其中Fries and Hunter（1980）提出的Minimum Aberration（简记MA,译为最小低阶混杂）准则和Wu and Chen（1992）提出的Clear Effect（简记CE,译为纯净效应）准则受到了最大关注.更多细节,我们可以参考Chen,Sunand Wu（1993）和Mukerjee and Wu（2006）.最近Zhang,Li,Zhao and Ai（2008）引入Aliased Effect-Number Pattern（简记AENP,称为别名效应个数模式）,并基于这一模式建立了一种General MinimumLower Order Confounding（简记GMC,称为一般最小低阶混杂）准则,用来选择两水平的正规因析设计.在这一新的准则下选取的最优设计称为GMC设计.由于这种别名效应个数模式（AENP）能直接充分反映设计的混杂信息,因而也把在AENP下建立的包括GMC准则在内的各种研究称为GMC理论.他们证明了,现有各种最优准则都可以通过表示为AENP的函数而得到,从而AENP可以统一管理各个准则.例如,作为MA准则的核心,字长型（WLP）,是AENP的某种平均函数.纯净效应准则也是AENP中几个量的简单函数的优化.他们还证明了,GMC设计是在纯净效应准则下优中最优的设计,而且GMC准则适合任何情况,无论设计本身是否存在纯净效应.另外,GMC设计不仅在上述基本原则下是最优的,而且其构造得到理想而完善的结果（细节参见Zhang and Mukerjee（2009）,Li,Zhao and zhang（2008）,Zhang and Cheng（2008）和Cheng and Zhang（2008））,这是其他准则目前还未能达到的.本论文的主要目的是深入研究GMC理论的一些进一步的性质和应用.首先,我们证明了一个重要结果:GMC设计必定最小化字长型的第一项A3.这就从效应等级原则的基础上严格地揭示了,最小化A3是选择最优正规设计的必要条件.在上述结果的基础上,对于分辨度为Ⅲ且A3最小的设计,我们得到了主效应和二阶效应之间的唯一最优的混杂结构形式.这个形式揭示了A3最小化的本质.虽然MA准则也具有最小的A3,但揭示不了这个性质.基于GMC理论和二阶效应模型,为了估计主效应和二阶交互效应,我们提出了最小充分信息的概念.这个概念说明了在三阶及三阶以上交互效应可以忽略的情况下,GMC准则具有最优性.特别地,这个概念还有很多重要的应用.由于计算简便,Eccleston and Hedayat（1974）提出了（M,S）算法,这在最优设计文献中有广泛应用.Shah and Sinha（1989）讨论了许多关于（M,S）最优性的例子和应用.Cheng,Deng and Tang（2002）和Mandal and Mukerjee（2005）也研究了因析设计中的（M,S）最优性的问题.最近,Qu,Kushler and Ogunyemi（2008）提出用（M,S）最优性来选择两水平的因析设计.对于正规的分辨度大于等于Ⅲ的两水平的因析设计,Jacroux（2004）和Qu,Kushler and Ogunyemi（2008）都考虑了（M,S）和MA准则之间的联系.他们证明了,对于分辨度大于等于Ⅳ的设计,MA设计必定是（M,S）最优的设计.此外,Qu,Kushler and Ogunyemi（2008）还证明了对于分辨度为Ⅲ,试验次数不超过64的设计,MA设计必定是（M,S）最优的设计.但是,对于分辨度为Ⅲ,试验次数超过64的设计,MA设计是否仍然是（M,S）最优的设计就不得而知了.利用最小充分信息,我们证明了对于分辨度大于等于Ⅲ的设计,MA设计必定是（M,S）最优的设计,无论它的试验次数是多少.除此之外,我们还证明了,作为Zhu and Zeng（2005）提出的最小M低阶混杂准则（minimum M-aberration criterion）的核心,序贯最小化最小M低阶混杂准则的前三项,M（（1,2））1,M（（2,2））2和M（（2,2））1,等价于序贯最小化最小低阶混杂准则的前两项A3和A4.Cheng,Steinberg and Sun（1999）考虑的一个模型稳健性准则是最大估计容量.Cheng,Steinberg and Sun（1999）证明了最小低阶混杂准则是最大估计容量的一个很好的替代,计算机搜索的结果表明两个准则得到的结果相当一致.但是,他们并没有讨论最大估计容量准则和最小低阶混杂准则之间进一步的联系.利用最小充分信息,我们证明了序贯最小化MA准则的前两项A3和A4,等价于序贯最大化最大估计容量准则的前两项E1（d）和E2（d）.由于大多数MA设计都可以由序贯最小化A3和A4决定,因此,这就几乎完全解释了为什么这两个准则经常得到相同的最优设计.Chen and Cheng（2006）讨论了如何用doubling的方法构造分辨度为Ⅳ的两水平正规设计.利用最小充分信息,我们给出了分辨度大于等于Ⅳ的最大设计的一个更易于验证的充分必要条件,并研究了doubling的进一步的性质.这个性质推广了Chen and Cheng（2006）的一个关键结果,也即是定理3.3.他们的结果只适用于分辨度为Ⅳ的最大设计,而我们推广的结果则没有这个限制.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• Chapter 1 Introduction
• Chapter 2 Some Results on Two-level Regular Designs with GMC
• 2.1 Introduction
• 3'>2.2 A GMC Design Minimizes A₃
• 2.3 Optimal Confounding Structure between Main Effects and 2fi's
• 2.4 Some Discussions on GMC and MA Designs
• Chapter 3 Minimal Sufficient Information for Estimating Main Effects and 2fi's
• 3.1 Model
• 3.2 Definition
• 3.3 Some Optimal Criteria in View of Minimal Sufficient Information
• Chapter 4 Some Applications of Minimal Sufficient Information
• 4.1 Introduction
• 4.2 MA Designs must be（M,S）-optimal Designs
• 4.3 Relationship between Minimum M-aberration and MA Criteria
• 4.4 Relationship between MEC and MA Criteria
• Chapter 5 Maximum Rank Minimum Aberration and Doubling
• 5.1 Introduction
• 5.2 Maximum Rank Minimum Aberration Criterion and Doubling
• 5.3 Maximum Rank Minimum Aberration Designs and MA Designs
• Chapter 6 Summary
• Acknowledgements
• References
• Resume