几类与流体力学模型有关的偏微分方程的研究

论文摘要

首先我们研究了非等熵的Euler—Poisson方程的平衡解问题.假设宏观熵S为：S（x）=θln|x|：其中θ是一个常数.则通过一个非线性变换,Euler—Poisson系统的平衡态方程可以化为一个带权的二阶椭圆方程其中Ω是R3中包含原点的有界区域,h（x）∈c1（Ω）可变号.当与速度场有关的常数σ及与熵有关的常数θ满足不同的条件时,利用变分方法,在带权的Sobolev空间中,我们讨论了方程（EPS）解的不同情况.然后,在三维管道中,我们考虑了不可压Euler方程的非线性不稳定性其中ρ=ρ（t,x,y,z）,V=V（t,x、y,z）和P分别表示流体的密度、速度和压力,G=（g,0,0）是沿x轴方向的重力常数,t≥0为时间.如果满足平衡态方程的密度是非增的,那么这样的平衡态是非线性不稳定的.如果粘性项和热传导项对多方理想流体运动的影响不能忽略,那么具有自重力作用的流体模型可由Navier-Stokes-Poisson方程描述其中这里（?）,cv和κ≥0分别表示温度,热力常数和热传导系数.▽tv是▽v的转置.λ和μ是满足μ>0,3λ+2μ≥0的粘性系数.我们证明了（NSP）方程解爆破的一个充分条件,并且给出了一类特殊的径向爆破解.

论文目录

• 内容摘要
• Abstract
• 第一章 概述
• 1.1 研究的问题及其背景
• 1.2 主要结果及重难点
• 1.3 本文结构
• 第二章 Euler-Poisson方程的平衡解
• 2.1 本章简介
• 2.2 极小解的存在性
• 2.3 当h（x）∈A时方程的第二个解
• 2.4 定理2.1.3的证明
• 第三章 不可压Euler方程在管道中的非线性不稳定性
• 3.1 本章简介
• 3.2 定理3.1.1的证明
• 3.3 定理3.1.2的证明
• 第四章 Navier-Stokes-Poisson方程的爆破解
• 4.1 本章简介
• 4.2 解爆破的充分条件
• 4.3 特殊的爆破解
• 第五章 问题和展望
• 参考文献
• 在学期间发表和接受发表论文目录
• 致谢