与Virasoro代数相关联的几类无限维李（双）代数的结构与表示

论文摘要

本文主要研究了几类与Virasoro代数相关联的无限维李（双）代数的结构与表示理论,确定了一类与Virasoro代数相关联的无限维李代数B的双代数结构,研究了扭Schrodinger-Virasoro李代数的导子代数和自同构群,讨论了形变Schrodinger-Virasoro李代数的二上循环,给出了Schrodinger-Virasoro李代数的中间序列模的分类。众所周知,特征0代数闭域F上的三维单李代数sl（2,F）是研究有限维李代数结构和表示理论的有力工具。而Witt代数及其中心扩张Virasoro代数作为无限维李代数最简单的例子,自从一出现就备受数学家和物理学家的关注,很多好的结果不断出现,随着其结构理论和表示理论的日臻完善,其结果、方法和处理问题的技巧对其它无限维李代数特别是与其相关联的无限维李代数有很好的借鉴作用。这时出现了很多研究高阶Viraoso代数或广义Viraoso代数的文献（如文献[1]-[6]等）。我们知道利用李代数本身和它的表示可以构造一个新的更大的李代数,这样就很自然地出现了很多建立在Virasoro代数基础之上的代数结构,如q形变Virasoro代数、W型代数、（广义）Block型代数、广义Witt型代数、（广义）Virasoro-like李代数及其q类似、Virasoro-toroidal李代数、（广义）（扭）Heisenberg-Virasoro李代数、N=2的共形超代数、Schr（?）dinger-Virasoro型李代数等,当然也出现了大量研究这些类型的代数的文献（如[7]-[22]等）。本论文所做的工作正是在上面的背景下展开的。本论文在第一章研究了与Virasoro李代数相关联的一类无限维李代数B的李双代数结构,证明了李代数B上的每一个双代数都是三角上边缘的。李双代数的概念由Drinfel’d于1983年引入。文献[23,24,25]分别对Witt型与Virasoro型、广义Witt型和广义Virasorolike型李双代数进行了研究,文献[26,27,28]分别对上述类型的代数结构进行了量子化。鉴于目前还没有统一的方法来研究李双代数,不同的代数会遇到不同的问题,进而得到具体的不同的量子化代数。本论文第二章主要研究了形变Schr（?）dinger-Virasoro代数的二上循环和带中心扩张的扭Schr（?）dinger-Virasoro李代数L的导子代数与自同构群,完全刻划了形变Schr（?）dinger-Virasoro代数的二上同调群,给出了不同参数情形下的生成元,证明了L的导子代数由其内导子代数和三个线性无关的外导子张成。原始的Schr（?）dinger-Virasoro李代数是由Henkel在文献[29]中在非平衡统计物理的背景下引入的。目前,研究这种类型的李代数的文献虽不多,但却已经开始得到人们的重视（见文献[29]-[33]）。文献[32]给出了它们的顶点表示。第三章主要证明了无中心扩张扭Schr（?）dinger-Virasoro李代数上不存在不可约交叉模,并对带中心扩张的Schr（?）dinger-Virasoro李代数的中间序列模进行了分类。文献[37]证明了文献[38]给出的Virasoro代数上不存在不可约交叉模这一猜想。文献[21]和文献[11]分别证明了扭Heisenberg-Virasoro代数和W代数W（2,2）上也不存在不可约交叉模,同时,也有很多文献研究过李（超）代数的中间序列模（如[3,5,19,39,40,42,43,44]等）。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第零章 绪论
• §0.1 本论文的研究背景及相关结果简介
• §0.2 本论文的主要工作
• 第一章 一类无限维李代数B的双代数结构
• §1.1 研究背景及相关概念
• §1.2 无限维李代数B的双代数结构
• 第二章 Schr（o|¨）dinger-Virasoro型李代数的结构
• §2.1 研究背景及相关概念
• λ,μ的二上循环'>§2.2 形变Schr（o|¨）dinger-Virasoro李代数L_λ,μ的二上循环
• §2.3 扭Schr（o|¨）dinger-Virasoro李代数L的导子代数与自同构群
• 第三章 Schr（o|¨）dinger-Virasoro型李代数的表示
• §3.1 研究背景及相关概念
• §3.2 扭Schr（o|¨）dinger-Virasoro李代数（?）的不可约权模
• §3.3 Schr（o|¨）dinger-Virasoro李代数（?）的中间序列模的分类
• 参考文献
• 附录一 致谢
• 附录二 作者读博士期间发表和录用论文情况