弹性梁方程边值问题

论文摘要

本文对弹性梁方程边值问题进行了讨论。首先对简支梁问题给予较为详细的研究,其次对悬臂梁问题也作了一些探讨。 常微分方程边值问题由于其重要的理论价值和物理背景,一直被许多研究者所关注,并取得了丰富的研究成果。近年来,关于弹性梁方程的研究常出现于各种出版物,吸引着许多研究者,其研究主要集中于考察问题的解或正解的存在性和多重性。使用的主要方法有锥上的不动点理论、拓扑度理论和上下解方法等。 本文以参数为主线着重讨论了下面的简支梁问题 {u4（t）+ηu″（t）-ζu（t）=λf（t,u（t））,0<t<1, u（0）=u（1）=u″（0）=u″（1）=0。（1） 关于该问题的研究,已有的结果可归结为两种情形:（ⅰ）单参数情形:η=ζ=0,λ>0。（ⅱ）两参数情形:η,ζ≠0,λ=1。关于单参数情形,由于其结构简单,结果相对较多。关于两个参数（η,ζ）的问题研究,已有结果的参数（η,ζ）只能限定于平面上很小的部分。我们知道,在非共振的条件下,（1）所对应的齐次问题的特征线（本部分简称为特征线）起着至关重要的作用。而这些特征线有无穷多条,每条都与其它各条相交,进而把（η,ζ）平面分成无穷多互不相交的部分,这样就给在非共振的条件下讨论（1）的解带来困难。关于三个参数情形,至今未见相关结果报道。本文将对三参数问题进行讨论并克服这些困难。也就是说,在非共振的情形下,根据参数（η,ζ）所在的各个不同范围,详细研究了问题（1）解的存在性、多重性、唯一性、变号解的存在性以及参数对解的影响等。具体来说,首先在η<2π2,ζ≥-η2/4和ζ/π4+η/π2<1,λ>0情形下,考虑了问题（1）的正解存在性。利用不动点指数定理和半序方法,在f（t,u）对u单调和一定的增长性条件下,证明存在λ*>0使得当0<λ<λ*时（1）至少有两个正解;λ=λ*时（1）至少有一个正解;当λ>λ*时（1）没有正解;利用凹算子在正规锥上极小解存在定理,在f（t,u）增长性条件替换为,f（t,u）对u的凹性条件时,证明存在λ*>0使得当0<λ<λ*时（1）有唯一的正解,当λ≥λ*时（1）没有正解。此外还考虑了问题（1）正解的唯一性和解对参数λ的依赖性。其次,在参数对（η,ζ）位于特征抛物线ζ=-η2/4上且满足条件η<2π2情形下,借助于陈文塬先生[14]和Krasnosel’skii[40]关于算子分解方法,把积分方程解的存在性问题转化为泛函临界点的存在性问题,用临界点理论讨论了问题（1）解的存在性和多重性,得到当λ在不同区间时（1）至少有一个、两个、三个和无穷多个解。最后,在参数对（η,ζ）位于（η,ζ）平面的各种不同位置时,直接利用（1）的变分结构和临界点理论,讨论了（1）解的存在性和多重性,得到当（η,ζ）位于特征

论文目录

• 第一章 序言
• §1.1 问题的背景
• §1.1.1 物理背景
• §1.1.2 数学思想来源
• §1.2 本文的主要工作
• 第二章 简支梁问题正解的存在唯一性及解对参数的依赖性
• §2.1 正解的存在性
• §2.1.1 引言和预备知识
• §2.1.2 正解的存在性
• §2.2 正解的存在唯一性及对参数的依赖性
• §2.2.1 正解的存在唯一性及对参数的依赖性（Ⅰ）
• §2.2.2 正解的存在唯一性及对参数的依赖性（Ⅱ）
• 第三章 简支梁问题解的存在性和多重性
• §3.1 参数对（η，ζ）在特征抛物线上
• §3.1.1 预备知识
• §3.1.2 解的存在性和多重性
• §3.1.3 唯一性和例子
• §3.2 参数对（η，ζ）不在特征抛物线上
• §3.2.1 预备知识
• §3.2.2 参数对（η，ζ）在（2.2）的第一特征线左侧
• §3.2.3 参数对（η，ζ）在（2.2）的第一特征线右侧
• 第四章 简支梁问题的变号解及正解
• §4.1 引言和预备知识
• §4.2 问题（4.1）的解或正解
• §4.3 问题的变号解及正解
• §4.3.1 预备
• §4.3.2 问题（4.1）的变号解及正解
• §4.3.3 问题（2.1）的变号解及正解
• 第五章 悬臂梁问题正解的存在性和多重性
• §5.1 引言和预备知识
• §5.2 主要结果
• 参考文献
• 在学期间发表或完成的论文目录
• 致谢