Hermite插值型二维三角小波

论文摘要

在高等数学的理论中，三角级数(傅立叶级数)的研究一直占有着重要的地位，而在应用数学的发展史上，小波分析作为一门新兴学科越来越被重视。但是，怎样将三角级数与小波联系起来既如何构造三角小波是一个难点。1995年，Ewald Quak在他发表的论文《Trigonometric Wavelets For Hermite Interpolation》中对一维Hermite插值型三角小波空间进行了研究，并对其性质作出了详细的推导。然而，时至今日，一维三角小波空间已不能满足理论与实践的需要，而对多维三角小波空间的研究却引起了众多学者的关注。本论文便是对二维Hermite插值型三角小波空间的精细刻画。全文共分四部分，主要内容安排如下：前言部分主要介绍了小波分析的研究背景、研究现状和研究难点以及在本论文中作者要完成的工作。第一章详细论述了小波的基本概念以及小波变换的可变时频窗，也介绍了小波的其他方面，如多分辨分析、小波的分解与重构算法和双正交小波等。第二章主要研究二维可分离小波空间。从张量积的概念出发构造二维可分离多分辨分析与二维尺度空间与小波空间的基函数，最后给出了二元函数的分解与重构公式。第三章首先介绍了二重傅立叶级数及其收敛性，然后通过二维Dirichlet核来构造二维Hermite插值型尺度函数与小波函数，定义了二维Hermite插值算子，最后给出了双尺度方程与小波尺度方程以及尺度函数与小波函数的插值性质。它们用来计算小波尺度方程和双尺度方程的系数。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 前言
• 第一章 小波和小波变换
• 1.1 小波的本质
• 1.2 傅立叶变换与小波变换
• 1.3 连续小波变换的本质
• 1.4 离散小波变换的本质
• 1.5 多分辨分析
• 1.6 小波分解与重构算法
• 1.7 双正交小波
• 1.8 周期小波
• 第二章 可分离型二维小波基
• 2.1 张量积
• 2.2 可分离多分辨分析
• 2.3 二维可分离型小波基
• 2.4 二维信号f（x，y）的小波分解与重构
• 第三章 二维 Hermite插值型三角小波
• 3.1 二重傅立叶级数及其收敛性
• 3.2 二维Dirichlet核
• 3.3 二维Hermite插值型三角尺度函数及其性质
• 3.4 二维Hermite插值算子及其性质
• 3.5 二维Hermite插值型小波基函数及其性质
• 3.6 双尺度方程
• 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• 作者在读研期间的研究成果