椭球边界Helmholtz外问题的自然边界元法

论文摘要

本文利用自然边界元方法，研究了椭球内边界三维Helmholtz外问题的数值方法，并详细地论述了在此问题中遇到的椭球波函数的性质及其计算方法。Helmholtz方程来源于时间调和声波或电磁波的辐射和散射等数学物理问题，应用非常广泛，但此前对该问题的研究中大多是基于圆、椭圆及球面等一些简单边界。在本文中，基于椭球内边界，在椭球坐标下利用分离变量法及椭球波函数，给出了Helmholtz外问题相应的Poisson积分公式和自然积分方程，并导出了刚度矩阵的计算公式，讨论了数值技术。椭球波函数是数学物理中的特殊函数，它们在使用椭球坐标系的科学与工程中有许多重要和实际的应用，计算复杂，在本文中给出了它们的一些结果。自然边界元方法在处理圆、椭圆、球面等特殊边界外边值问题和奇异问题时十分有效。但对一般区域问题，仅使用自然边界元方法是不够的，我们需要耦合或区域分解方法。自然积分方程是准确的人工边界条件，其积分算子正是Dirichlet to Neumann(DtN)算子，在耦合和区域分解算法中起到关键作用，为进一步用DtN有限元方法解决数值计算问题提供了一条途径。

论文目录

• Abstract in Chinese
• Abstract
• 1 Introduction
• 1.1 Statement of the problem
• 1.2 The natural boundary element method
• 1.3 Spheroidal wave functions
• 1.4 Overview
• 2 Natural Boundary Element Method
• 2.1 Poisson integral formula and natural integral equation
• 2.2 Variational problem
• 2.3 Discrete variational problem
• 3 Spheroidal Wave Functions and Their Computations
• 3.1 Introduction
• 3.2 Spheroidal coordinate and spheroidal wave functions
• 3.3 The determination of the eigenvalues and intermediate coefficients
• 3.4 The calculation of prolate spheroidal wave functions and their derivatives
• 3.4.1 Calculation of angular spheroidal wave functions
• 3.4.2 Calculation of radial spheroidal wave functions
• 3.4.3 Derivatives of the angular and the radial spheroidal wave functions
• 3.5 Concluding remarks
• Bibliography
• Acknowledgements