带有奇异非线性项的反应扩散方程正解的存在唯一性及长时间动力学行为

论文摘要

在这篇博士学位论文中,我们主要在光滑的区域Ω（?）RN中考虑具有零边值条件的一类带有奇异项的非线性反应扩散方程弱解的存在唯一性及解的长时间动力学行为。在本篇博士论文中,我们主要考虑如下带有奇异项的非线性抛物型方程初值问题整体正解的存在性,唯一性以及在序区间（ε（?）1,c（?）1s）上整体吸引子的存在性等问题,其中（?）1为-△的第一特征值所对应的特征函数.我们首先利用-△的第一特征值所对应的特征函数,构造奇异方程的上下解,从而得到奇异方程解所存在的一个序区间.然后由第一特征函数的一个可积性,得出了奇异项的可积性,进一步出了这类带奇异项的非线性反应扩散方程弱解的定义.继而,我们利用奇异方程所对应的逼近方程的弱解及方程中各项的收敛性,得到了带奇异项的非线性反应扩散方程的弱解的存在性.在这一部分中,第一步,针对这种带奇异项的反应扩散方程,我们给出了弱意义下的比较原理.利用比较原理,可以证明该奇异方程若存在解,则一定是正解,从而得到了没有奇异性的逼近方程,最后运用已有的不等式和收敛定理,证明逼近方程的弱解和方程中各项的收敛性,从而得出奇异方程弱解的存在性.最后,我们考虑了这类奇异反应扩散方程所对应的解半群的吸收集和全局吸引子的存在性.分别证明了L2和H01∩Lp中存在吸收集；其次,利用H01可以紧嵌入到L2的性质,得到L2中全局吸引子的存在性；最后,得出Lp的吸

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 记号
• 第1章 综述
• 1.1 非线性反应扩散方程的研究发展
• 1.2 奇异的非线性反应扩散方程的研究进展
• 1.3 本文的工作和内容安排
• 1.4 展望
• 第2章 准备知识
• 2.1 常用不等式
• 2.2 上下解和比较原理
• 2.3 奇异非线性椭圆方程
• 2.3.1 -Δ的第一特征函数及其性质
• 2.3.2 带奇异项的椭圆方程的研究进展
• 第3章 带有奇异非线性项的反应扩散方程
• 3.1 弱解
• 3.1.1 弱意义下的比较原理
• 3.1.2 弱意义下的上下解
• 3.2 解的存在唯一性
• 3.2.1 存在性
• 3.2.2 唯一性
• 第4章 带有奇异非线性项的反应扩散方程解的长时间动力学行为
• 4.1 基本概念
• 4.2 吸引子存在性的一般判定定理
• 2吸收集的存在性'>4.3 L²吸收集的存在性
• 0¹∩L^p（Ω）吸收集的存在性'>4.4 H₀¹∩L^p（Ω）吸收集的存在性
• p吸引子的存在性'>4.5 L^p吸引子的存在性
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢