论文摘要
“李群理论”是20世纪初最重要的数学课题之一,结合强有力的“李群理论”,Olver和Pohjanpelto成功地发展了等价活动标架理论。在等价活动标架理论下,不仅给出了确定李伪群Maurer-Cartan结构方程的算法,且对于确定李伪群的微分不变量生成集时,活动标架理论也是一个强大的工具。另一方面,非线性发展方程是非线性物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一,非线性发展方程精确解和可积性的研究有助于弄清物质在非线性作用下的运动规律,对相应物理现象的科学解释和工程应用起到重要作用。本文以非线性发展方程为研究对象,运用等价活动标架理论,并借助于符号计算,主要研究了李伪群的Maurer-Cartan结构方程和Cartan结构方程,非线性发展方程的Maurer-Cartan结构方程,微分不变量代数生成集。主要工作如下：第一章绪论部分对“李群理论”,李伪群的结构理论,活动标架理论以及不变量理论产生的背景、发展及研究方法做了简单的综述。第二章是“AC=BD”理论,介绍了该理论的基本思想及应用,并运用"AC=BD"来描述其他常见的研究孤子方程的方法。第三章介绍了李伪群的结构理论,一是Cartan结构理论,二是Maurer-Cartan结构理论,通过一个具体实例进行比较,得到了两者之间的联系。第四章介绍了等价活动标架理论,运用等价活动标架理论,研究了非线性偏微分方程的对称群的微分不变量生成集,并列举了具体的方程对算法进行了详细阐述。第五章探究了李伪群Maurer-Cartan结构方程与李代数结构方程的联系,方程的微分不变量与Maurer-Cartan结构方程的联系,Backlund变换和Maurer-Cartan结构方程的联系,使得全文形成一个较完整的理论框架。最后给出了本文的简短总结,并给出了在此基础上可以探讨的问题。