鞍焦点同宿环的稳定性

论文摘要

近年来,与同宿环有关的混沌现象以及分支问题已受到越来越多的关注.当研究这一类问题时,判定同宿环本身的稳定性起着重要的作用.有关平面同宿环的稳定性研究成果已经非常丰富,对于空间系统连接鞍点同宿环的稳定性也已有一定的研究,但由于研究工作的困难,有关维数大于3的空间系统连接鞍焦点的同宿环的稳定性研究还尚未见到.本文研究任意有限维空间中鞍焦点同宿环的稳定性问题.全文分为两部分,在引言中首先回顾了有关同宿环研究的历史和现状,然后概括叙述了本文所研究的内容,特别强调了引进稳定性新定义的必要性.第二部分首先研究了维数≥3的高维空间中连接只有1维不稳定流形的双曲鞍焦点的同宿环的稳定性问题,进而对任意有限维空间中一般双曲鞍焦点同宿环的稳定性问题一在其部分邻域内稳定流形和不稳定流形的维数问题（?）进行了一些探讨.首先研究高维空间中连接只有1维不稳定流形的双曲鞍焦点同宿环的稳定性.考虑m+3维空间系统假设系统（2.1）存在一个连接双曲鞍焦点的同宿环.为更好地反映包括连接鞍焦点的同宿、异宿环在内的空间同宿、异宿环的稳定性,我们将文献[11]中给出的部分邻域稳定性的定义作了修改和扩充.再对空间系统（2.1）做如下假定:（H1）O点是系统（2.1）的一个双曲鞍焦点,F（O）=0,A=DxF（O）的特征值为α±βi,λ*及λ?,i=1,2,…,m且满足α<0,β>0,λ*>0和Re{λ1,λ2,…,λm)<α<0.（H2）系统（2.1）存在一个与奇点O相连的同宿环Γ.记Es和Eu分别为相应于特征值α±βi和λ*的特征向量张成的子空间,则Γ中的正、负半轨道在O点处分别与Es和Eu相切.在上面的假设条件下,我们给出和证明了关于Γ是正向部分邻域渐近稳定（不稳定）的判别准则.我们将这个定理的证明分为六步:即先证明五个辅助引理,然后再给出定理的直接证明.注意,文献[13]第3章3.2cii)节对3维空间（即本文中的m=0）中连接鞍焦点的同宿环给出了与上述相同的稳定性结论.但是,第一,其证明方法有问题.第二,这种稳定性结论无论是在通常的稳定性定义下还是在文献[11]的部分邻域稳定性定义下都是不正确的,只有在本文修改和扩充后的定义下才是名副其实的.接下来我们尝试对任意有限维空间中连接一般双曲鞍焦点的同宿环的稳定性问题进行一些探讨.考虑（m+n+3）维空间系统假设系统（2.10）存在一个连接双曲鞍焦点的同宿环.在上文给出部分邻域稳定性的定义后,我们再给出无限-Cantor集的定义和系统（2.10）的一个同宿或异宿环Γ在其管状邻域内具有（s+1）维稳定集合和（u+1）维不稳定集合的定义.对空间系统（2.10）做如下假定:（A1） F（0）=0,A=DxF（0）的特征值为α±βi,λ*及λui,i=1,2,…,m和λvj,j=1,2,…,n.它们满足α<0,β>0,λ*>0和Re{λu1,λu2,…,λum}<α<0,Re{λv1,λv2,…,λvn}>λ*>0.（A2）系统（2.10）存在一个与双曲鞍焦点O相连的同宿环Γ.记Es和Eu分别为相应于特征值α±βi和λ*的特征向量张成的子空间,则Γ中的正、负半轨道在O点处分别与Es和Eu相切.在上述稳定性定义和假设下,通过建立首次回归映射并研究其在同宿环的横截面上部分邻域内的压缩流形和扩张流形的存在性及其维数,给出了同宿环Γ在其管状邻域内的稳定性态,得到了本文的主要结果.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 1 引言
• 2 鞍焦点同宿环的稳定性
• 2.1 高维系统连接只有1维不稳定流形的双曲鞍焦点同宿环的稳定性
• 2.2 任意有限维空间中鞍焦点同宿环的稳定性
• 参考文献
• 致谢
• 硕士期间完成的文章