穿衣方法与离散可积系统

论文摘要

穿衣方法最早是由Zakhrov和Shabat在上个世纪70年代创立的，它从一个积分算子F和两个Volterra算子K±出发，利用积分算子的三角分解关系得到Gel’fand-Levitan方程．然后利用穿衣关系将已知常系数可交换微分算子（初始算子）Mj，j=1，2，变为可交换的穿衣算子Mj，j=1，2，并由此得到非线性演化方程。为了得到此方程的解，就需要从积分算子F与已知算子Mj，j=1，2的可交换性求得积分核F，最后由Gel’fand-Levitan方程构造出微分核K的表达式，从而可得方程的解。 推广的穿衣方法是由常系数可交换的算子Mj,j=1，2，推广为变系数的算子，并且满足推广的可交换关系。利用定理2.3，以及与上面的方法相平行的方法，就可以得到一系列的变系数演化方程，以及它们的解。利用这种推广的穿衣方法，可以得到一大类的演化方程，而不再是孤单的一个方程。 接下来，作者利用推广的穿衣方法首先考虑了AKNS谱问题，利用两组变系数初始算子对，分别得到变系数耦合mKdV方程和变系数耦合NLS方程，同时，还给出它们的显式解，并利用分解的思想，将（2+1）-维变系数KP方程分解为已得的（1+1）-维变系数耦合mKdV方程和变系数耦合NLS方程，然后利用（1+1）-维变系数耦合mKdV方程和变系数耦合NLS方程的相容解，得到变系数KP方程的显式解，作者考虑推广穿衣方法的另一个应用是得到变系数DS方程，同时，得到它们的显式解。 穿衣方法的理论发展主要有两种：一种是基于Riemann-Hilbert问题的穿衣方法，即一定程度上的经典Darboux变换方法；另一种是基于局部（?）-问题的（?）-穿衣方法，本文在第3部分首先介绍了（?）-穿衣方法，包括方程的构造和解的构造，然后介绍了正交曲纹坐标系，Gauss-Lame方程和Gauss-Codazzi方程。由于已经知道Gauss-Codazzi方程的解，而可积系统与可积几何之间的关系也已经被建立起来．作者利用Gauss-Lame方程和适当的约束条件将上述二者联系起来，利用已知的Gauss-Codazzi方程的解来求解具体的可积方程。作为例子，本文考虑了Sine-Gordon方程和Tzitzeica方程，并给出它们的新解。 在第4部分，考虑了一个离散谱问题，将它的伴随谱问题同时展开为λ的正幂和负幂多项式，由此得到了一族离散方程，同时还利用迹恒等式给出了该族离散方程的Hamilton结构，接下来，本文又考虑了两个（1+1）-维变形Toda链，而这两个（1+1）-维离散方程恰为由伴随谱问题分别按λ的正幂和负幂展开所得到的第一个非平凡方程，最后，利用Lax矩阵的有限阶展开方法给出这两

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章引言
• §1.1 孤立子系统
• §1.2 孤立子理论与反散射方法
• §1.3 反散射方法的演化
• §1.4 非线性演化方程的显式解法
• 第二章 穿衣方法
• §2.1 基本理论框架
• §2.2 推广的穿衣方法
• §2.3 AKNS方程
• §2.3.1 耦合NLS和耦合mKdV方程
• §2.3.2 显式解
• §2.4 DS方程
• §2.4.1 变系数DS方程
• §2.4.2 显式解
• 第三章 （?）-穿衣方法和Gauss-Codazzi方程的应用
• §3.1 DBAR（?）问题
• §3.2 （?）-穿衣方法
• §3.3 正交曲纹坐标系与Gauss-Lamé方程
• §3.4 Gauss-Codazzi方程及其显式解
• §3.4.1 Gauss-Codazzi方程
• §3.4.2 Gauss-Codazzi方程的显式解
• §3.5 Sine-Gordon方程和Tzitzeica方程
• 第四章 变形Toda链的代数几何解
• §4.1 离散方程族及其Hamilton结构
• §4.1.1 驻定零曲率方程和Lenard递推方程
• §4.1.2 离散方程族和Hamilton结构
• §4.2 变形Toda链
• §4.2.1 两个变形Toda链
• §4.2.2 Lax矩阵表示
• §4.3 流的拉直
• §4.3.1 Abel-Jacobi坐标和连续流的拉直
• §4.3.2 离散流的拉直
• §4.4 显式解
• 第五章 2+1-维Toda链的代数几何解
• §5.1 Toda族
• §5.1.1 Toda族
• §5.1.2 可积辛映射
• §5.2 （2+1）-维Toda链的分解
• §5.2.1 （2+1）-维Toda链的分解
• §5.2.2 Lax矩阵表示
• §5.3 流的拉直
• §5.3.1 Abel-Jacobi坐标与连续流的拉直
• §5.3.2 离散流的拉直
• §5.4 显式解
• 第六章 离散Ablowitz-Ladik族的分解与可积辛映射
• §6.1 驻定零曲率方程和Lenard递推方程
• §6.1.1 驻定零曲率方程
• §6.1.2 Lenard递推方程
• §6.2 离散Ablowitz-Ladik族和它们的Hamiltonian结构
• §6.2.1 离散Ablowitz-Ladik族
• §6.2.2 Hamilton结构
• §6.3 辛映射及其可积性
• §6.3.1 辛映射
• §6.3.2 Liouville可积性
• §6.4 离散Ablowitz-Ladik族的分解
• 附录一
• 附录二
• §B.1 约化的（?）-穿衣方法
• §B.2 Gauss-Codazzi方程的显式解
• 致谢
• 科研成果
• 参考文献表