论文摘要
小波分析是20世纪80年代初发展起来的一个应用学科,它是传统Fourier分析的改进与发展,在图像压缩、信号处理、数据处理、信号过滤、边缘检测等方面都有广泛而有效的应用。多重小波是近年来新兴的研究方向,它具有许多一维小波所不具备的优越性质,因颇受国内外学者的关注。本文系统讨论了多重正交小波的性质以及构造,给出了多尺度分析生成的Riesz小波的充要条件,并把其结果应用到双正交多重Riesz小波,得到一系列的结果。全文共分四章,现分述如下。 第一章作为预备知识,主要介绍了本文中要用到的一些符号,介绍了Bessel序列、框架、Riesz基、正交小波和Riesz小波等概念,列举了一些已知的重要结果。 第二章讨论了多尺度分析{Vj}-∞-∞中子空间V0的性质,进而讨论了多尺度分析生成的多重正交小波Ψ=（ψ1,ψ2,…,ψr）T和子空间V0以及基和维数之间的等价关系,分析了滤子函数矩阵P（ω）的性质,最后给出了r阶矩阵函数P（ω）生成尺度函数Φ的充分条件。 第三章研究了尺度函数Φ=（φ1,φ2,…,φr）T和多重正交小波Ψ=ψ1,ψ2,…,ψr)T的Fourier变换所形成的矩阵A（ω）,B（ω）,C（ω）与高、低频滤子函数矩阵P（ω）,Q（ω）之间的关系,研究了矩阵A（ω）,B（ω）,C（ω）,P（ω）,Q（ω）和子空间V0,V1的基之间的等价关系。最后,建立了多重正交小波的存在性定理及构造。 第四章研究了多重Riesz小波的性质,给出多尺度分析生成的多重Riesz小波Ψ、尺度函数Φ和高、低频滤子函数矩阵P（ω）、Q（ω）之间的等价条件;分析了小波Ψ是多尺度分析生成时两个函数（?）（2ω）,（?）（ω）必须满足的测度关系;得到多尺度分析生成的小波函数Ψ和矩阵函数M（ω）的维数关系;最后将结论推广到双正交多重Riesz小波,得到一系列等价刻画。