三个二次代数曲面的高光滑拼接及图形实现

论文摘要

代数曲面拼接问题是计算机辅助几何设计（CAGD）中的基本问题之一，它有着重要的理论意义及应用价值。上世纪七十年代末，构造性代数几何有了突破性进展后，曲面拼接问题有了比较完善的理论基础。1989年，J. Warren把曲面拼接问题转化为求理想交的最低次数成员问题。1993年，吴文俊用由他创立的特征列方法（即吴方法），把这类问题转化为多项式方程组的不可约升列的计算，但是，将吴方法用于处理一般曲面拼接问题时，计算量过大，应用不便。1996年，王旭超在伍铁如工作的基础上，给出了两个二次代数曲面的三次GC1拼接的实现方法。1998年，张巨贤，于凯用另一种方法给出了两个二次代数曲面的二次GC0和三次GC1拼接的存在条件和实现方法。2001年，于凯将曲面拼接问题转化为一系列齐次代数方程非零解的存在性问题，并且避开了二次控制曲面存在条件。2006年，李云东在其硕士论文中，运用上述方法，研究了二次曲面与三次曲面在其平面截口处三次和四次GC1拼接存在的充要条件和算法。但是前人的研究内容多数是低光滑拼接。本文利用计算机代数方法，讨论了三个代数曲面的高光滑拼接问题，如果g，h为两个不同的不可约多项式，S（g），S（h）横截于S（g，h），则对任意的多项式f，若S（f）在S（g，h）处与S（g）相切，且曲率相同，则f∈＜g，h3＞，于是对于三个二次曲面的情况，我们就可以得到拼接曲面G满足G∈＜Gi，Hi3＞，即G∈＜G1，H13＞∩＜G2，H23＞∩＜G3，H33＞，或者G=S1G1+T1H13=S2G2+T2H23=S3G3+T3H33，其中Si，Ti的次数由Gi，Hi决定（i=1，2，3），只要Si，Ti的形式确定，那么拼接曲面也就确定了。于是转换为齐次线性方程组非零解的存在性问题。利用计算机代数系统Maple给出三个二次代数曲面沿平面截口GC2拼接的条件，得到如下结论：定理1：若三次GC2拼接曲面存在，则相应齐次线性方程组系数矩阵的秩小于15。定理2：若四次GC2拼接曲面存在，则相应齐次线性方程组系数矩阵的秩小于42。最后利用计算机代数系统Maple解决两个拼接实例并给出图像，验证了此方法的有效性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 选题背景
• 1.2 国内外学者的研究进展
• 1.3 本文研究的主要内容和意义
• 第二章 代数曲面的光滑拼接
• 2.1 记号和约定
• 2.2 代数集和理想
• 2.3 代数曲面的光滑拼接
• 2.3.1 两个代数曲面拼接
• 2.3.2 多个代数曲面拼接
• 2.4 控制曲面及拼接曲面理论
• 第三章 三个二次代数曲面的高光滑拼接
• 3.1 代数曲面的高光滑拼接理论
• 3.2 高光滑拼接曲面的存在条件及算法
• 3.2.1 三次拼接
• 3.2.2 四次拼接
• 3.3 应用实例
• 结论
• 致谢
• 参考文献
• 附录
• 攻读硕士期间发表的文章