幂函数叠加势的薛定谔方程及Dirac方程的解析解

论文摘要

本文简要论述了求解定态薛定谔方程解析解与数值近似解的方法,研究了多项正幂与逆幂势函数叠加条件下径向薛定谔方程的解析解。根据量子系统波函数必须满足单值、连续和有限的标准条件,首先求出径向坐标r→∞以及r→0时的解析解,然后采用奇点邻域附近的级数解法与求得的渐近解相结合,确定指标s以及幂函数各项系数间的约束关系,通过幂级数系数比较法得到势函数叠加势为V（r）=α1r8+α2r3+α3r2+β3r-1+β2r-3+β1r-4的径向薛定谔方程的一系列定态波函数解析解以及相应的能级结构,并利用MATLAB工具软件绘出波函数分布图形。一般说来,5种及以上势叠加的条件下薛定谔方程只有近似解,不存在解析解。但如果幂函数之间存在紧密耦合关系的情况下,则可能存在解析解。本文初步探讨了上述幂势函数存在解析解的条件并求出了解析解以及相应的能级结构。本文采用分离变量法讨论了叠加势在标量势和矢量势相等条件下Dirac方程的s波束缚态解析解;指出了系统的性质与三个量子数（ nr , m, s ）及该势的势参数（ K , A,β,γ）有关;给出了用广义连带勒让德多项式表示的归一化角向波函数和用合流超几何函数表示的归一化径向波函数;获得了精确的束缚态能谱方程。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 前言
• 1.1 论文的学术意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.2.1 幂函数叠加势薛定谔方程的解析解
• 1.2.2 一类叠加势Dirac 方程束缚态的解析解
• 1.3 论文研究的目的和研究内容
• 1.3.1 论文研究的目的
• 1.3.2 论文研究的主要内容
• 2 薛定谔方程的解法
• 2.1 薛定谔方程
• 2.1.1 薛定谔方程的建立
• 2.1.2 定态薛定谔方程
• 2.2 求解薛定谔方程的近似方法
• 2.2.1 微扰法
• 2.2.2 变分法
• 2.2.2.1 变分法的基本原理
• 2.2.2.2 应用变分法求体系基态能量和波函数的步骤
• 2.2.2.3 变分法应用实例
• 2.3 薛定谔方程的严格解
• 2.3.1 谐振子势
• 2.3.2 中心库仑势
• 2.3.3 二阶常微分方程的奇点类型及其解
• 2.4 小结
• 3 幂函数叠加势薛定谔方程的解析解
• 3.1 引言
• 3.2 叠加势是否有一个精确解的判别方法
• 3.3 高次正幂与逆幂势函数叠加的径向薛定谔方程的解析解
• 4 一类叠加势Dirac方程束缚态的解析解
• 4.1 Dirac方程的建立
• 4.2 自由粒子Dirac 方程的平面波解
• 4.3 幂函数叠加势的Dirac 方程束缚态解析解
• 5 结论
• 参考文献
• 致谢
• 作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录,科研情况