论文摘要
本论文主要研究一类半线性奇异椭圆方程,用变分法和一些分析技巧得到了其解的存在性和多重性.首先,研究了具有Dirichlet边界条件的椭圆问题:这一类问题带有Hardy项和临界Sobolev-Hardy指数.其中Ω是RN（N≥3）中开的有界光滑区域,2)是临界Sobolev-Hardy指数且2*=2*（0）=2N/（N-2）是临界Sobolev指数,入>0是实参数.对其所对应的能量泛函的（PS）序列进行了仔细的讨论,给出了局部紧性结果,进而利用这一结果和山路引理证明了该方程解的存在性.其中,我们重点研究了0∈（?）Ω的情形.在这种情况下,为了得到山路解的存在性,要考虑边界在原点处的曲率性质.并且要对Sobolev-Hardy临界时最佳嵌入常数的达到函数做一些新的估计.另外,利用喷泉定理和对偶喷泉定理,在一定条件下给出了方程无穷多解的存在性结果.其次,本文研究了具有Neumann边界条件的奇异椭圆方程:其中,0∈（?）Ω.我们首先对Sobolev-Hardy临界时最佳嵌入常数的达到函数给出了一些新的估计,不同于Dirichlet边界问题或0∈Ω的情况,当0∈Ω时,这些估计要困难的多.然后,利用Ekeland变分原理和山路引理证明了该问题正解的存在性和多重性.
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