论文摘要
本文围绕常微分算子领域中的不同微分算子谱之间的关系、数值计算以及具有内部不连续点的微分算子的谱分析等三个方面开展研究工作。不同微分算子谱之间的关系是Sturm-Liouville（S-L）理论中一类重要的问题。对于首项系数变号且具有分离边界条件的S-L问题,本文首次把几何方法应用到谱之间关系的研究中,通过两个定型S-L问题的特征值从“几何”的角度来刻画首项系数变号的S-L问题的特征值,这一刻画使得特征值的存在性、特征值的prüfer角刻画以及通过特征函数的零点个数确定相应特征值的下标等三个结论的证明更简洁。本文使用这一方法重点研究了首项系数变号的S-L问题与两个定型S-L问题特征值之间的关系,给出了特征值之间的不等式,并利用该不等式得到了特征值的渐近公式。据我们所知,这些特征值不等式是全新的,这一工作提供了用简单问题的谱去研究复杂问题谱的新思想、新方法。具有转移条件的S-L问题、边界条件和转移条件中有谱参数的S-L问题以及非自共轭的S-L问题是微分算子谱理论中的若干新的重要问题。Zettl等设计开发的SLEIGN2可以求解通常自共轭S-L问题,对这些新问题,目前还没有较系统的软件可以使用。本文利用上述诸问题判别函数的性质把求特征值的问题转化为求λ复平面上一个给定区域（或区间）内判别函数零点的问题。数值求解非线性显函数零点的问题已经被众多学者所研究,但判别函数可能是λ的隐函数,这给通过幅角原理进行根的隔离带来了一些困难。本文用统一的算法设计给出了特征值、特征值重数以及特征函数的数值解,并对模拟结果进行了分析。该算法结构简单,思路清晰,为S-L问题的数值求解提供了一个相对标准的框架,不仅可以求解通常自共轭的问题,也可以求解上述新问题,即,不仅可以求解实特征值,也可以求解非实特征值。算法中渗透着并行计算的思想,很容易改写成并行计算程序。为了方便数值模拟,本文还给出根据给定的特征值和特征函数构造S-L问题的方法,通过该方法灵活地构造了数值模拟中所需要的数值实例,这一工作在不连续S-L问题特征函数振动性的研究起到了十分重要的作用。数值计算的另外一项工作:确定具有混合边界条件的自共轭S-L问题（二次项系数函数可以变号）每一个给定特征值的下标。我们对下标问题进行了理论分析,通过特征值的等值线以及混合边界条件与分离边界条件S-L问题特征值之间的不等式,把计算具有混合边界条件S-L问题特征值的下标转化为计算具有相应分离边界条件S-L问题特征值的下标,进一步利用prüfer角求出这个下标。本文建立了求解下标问题的算法,通过各具特色的数值实例展示了理论上已有的结果并验证了算法的正确性和可行性。文章还研究了不连续S-L问题特征函数的振动性和特征值的实性。通过我们设计的算法,给出数值实例并加以分析,研究特征函数的图形,把第一个特征值所对应的特征函数与其它每个特征函数在“内部点”处的“跳跃状态”之间的关系与特征函数的振动特征联系起来,从对实例的“直接观察”中分析并给出特征函数的振动特征,随之给出了振动性的严格证明。通过解析解来研究问题的思想是朴素的,但通过数值实验分析研究特征函数的振动特性,方法是全新的。另外,对于一类边界条件中带有特征参数且具有转移条件的S-L算子,通过给出一个与问题相关的新的算子,在一个适当的空间中证明它是自共轭的,并研究了其特征值的性质。全文分为七章,第一章介绍了问题提出的主要背景和本文的主要结果;第二章是不定和定型S-L问题之间特征值不等式;第三章是正则S-L问题特征值和特征函数的计算;第四章是自共轭S-L问题的特征值下标的确定;第五章是具有转移条件且边界条件中带有谱参数的S-L问题特征值的性质;第六章是具有转移条件的S-L问题特征值和特征函数的计算;第七章是具有分离边界条件和转移条件的S-L问题特征函数的振动性。
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