带有时滞的种群竞争模型的解展开

论文摘要

近年来,带时滞的种群动力学问题已成为非常具有挑战性的热点问题。当前生态学发展的前沿方向之一,就是有关生态系统的动力学机制研究和动力学预测。研究带时滞的种群动力学行为不仅具有重要的实际意义,也是一个颇具挑战的数学问题。目前对于带有时滞的种群动力系统的研究,大多集中在解的存在性、稳定性、振荡以及分叉等问题上。本文主要从定量的角度研究系统的解在平衡点附近的局部结构以及解的收敛的快慢程度。由于系统的稳定性完全由解的结构确定,从而可将解的结构和稳定性结合起来考虑。同时,这种定量研究给出了对事物的明确描述,且便于数值计算。本文根据如上研究理念,针对一个具体的生态问题含有两个离散时滞项的竞争种群的动力学系统作定量分析,研究系统动态解的结构,给出对解的数值模拟,得到了较好的结果。首先,假设该系统存在唯一的正平衡点,对系统在该点附近作线性化,得到相应的线性化模型。采用线性算子半群理论解决了线性化模型的适定性,并在此基础上对系统算子进行谱分析,给出系统算子本征值和相应本征向量的表达式。通过对系统算子Riesz谱投影的范数估计,证明本征向量序列不构成状态空间的基。尽管如此,仍给出了系统的解按照本征向量的渐近展开式,并据此对其作数值模拟。通过对数值解的误差估计,我们指出,在小时间内模拟有一定的误差,但对大时间的情形,该渐近展开式指数收敛于系统的精确解,从而数值近似解具有很高的精度。本文是以一个简单的带时滞种群竞争模型为例来研究的,由于我们采用的方法具有一般性,这种方法可以用于研究其他带有时滞的微分方程。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 课题背景
• 1.2 带时滞种群动力系统的研究方法、进展与现状
• 1.3 本文研究的主要问题
• 1.4 文章结构简要说明
• 第二章 基础知识
• 2.1 线性算子半群基本概念及性质
• 0半群生成理论'>2.2 C₀半群生成理论
• 2.3 有界线性算子扰动理论
• 2.4 发展方程与半群
• 2.5 文中用到的其它一些定义和定理
• 第三章 带有时滞的两种群竞争模型解的渐近展开
• 3.1 引言
• 3.2 系统的适定性分析
• 3.3 系统算子A的渐近谱分析
• 3.4 算子A的本征向量的非基性质
• 3.5 时滞方程解的展开
• 3.6 数值模拟与误差分析
• 3.6.1 系统算子的本征值
• 3.6.2 系统解的数值模拟
• 3.6.3 误差分析及与一般数值解方法的比较
• 第四章 结束语
• 参考文献
• 发表的文章及科研项目
• 论文情况
• 参加的科研项目
• 致谢