广义Laguerre拟正交逼近和高阶混合非齐次边值问题的Petrov-Galerkin区域分解谱方法

论文摘要

近三十年来,谱方法作为一种求解微分方程的重要数值方法得到了蓬勃发展,并被广泛应用于科学与工程计算.谱方法的主要优点是高精度.常用的谱方法适用于周期问题和有界直角区域上的各种问题.然而,在许多实际问题中,我们需要计算无界区域问题的高精度算法.本文研究三类新的广义Laguerre正交逼近、拟正交逼近及相关插值理论,建立了系统的误差估计,许多结果是最优的.基于这些理论结果,我们提出了高阶微分方程混合非齐次边值问题的Petrov-Galerkin谱方法,以及有关的区域分解谱方法.首先,我们提出了一类新的广义Laguerre函数Ll（α,β）（x）,其中α为任意实数,β>0.它们关于权函数xαe-βx相互正交.我们建立了以这些函数为基底的正交逼近、拟正交逼近及广义Laguerre-Gauss-Radau插值逼近理论.这些结果诱导出相应的Petrov-Galerkin谱方法和配置法.其次,我们引入了另一类广义Laguerre函数（?）t（α，β）（x）,其中α为任意实数.它们关于权函数xα相互正交.我们建立了以此类函数系为基底的正交逼近、拟正交逼近和广义Laguerre-Gauss-Radau插值理论.它们构成了半直线上高阶微分方程的Petrov-Galerkin区域分解谱方法的理论基础,并有助于某些外部问题的数值模拟.最后,为了精确地拟合真解在无穷远处的渐近行为,我们研究了第三类广义Laguerre函数Lt（α,β,γ，δ）（x）,其中α,γ为任意实数,β,δ为正实数.它们关于权函数xα（δ+x）-γ相互正交.我们建立了以此类函数系为基底的正交逼近、拟正交逼近和广义Laguerre-Gauss-Radau插值理论,并在此基础上提供了精确拟合无穷远处真解渐近行为的新谱方法.我们进行了大量数值试验.数值结果证实了上述三类新谱方法的高精度,并与理论分析相吻合.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 引言
• 1.1 谱方法与无界区域上的谱方法
• 1.2 Laguerre谱及拟谱方法
• 1.3 本文主要工作
• 1.4 本文结构
• 第二章 准备知识
• 2.1 一些记号和函数空间
• 2.2 广义Laguerre多项式逼近
• 2.2.1 广义Laguerre多项式正交逼近
• 2.2.2 广义Laguerre多项式插值逼近
• 2.3 广义Laguerre函数逼近
• 2.3.1 广义Laguerre函数正交逼近
• 2.3.2 广义Laguerre函数插值逼近
• 2.4 广义Jacobi逼近
• 2.4.1 广义Jacobi函数
• 2.4.2 定义在（-2,0）上的广义Jacobi多项式逼近
• 第三章 第一类广义Laguerre逼近理论及其应用
• 3.1 新的广义Laguerre正交逼近
• 3.1.1 当α为任意实数时的广义Laguerre函数
• 3.1.2 α为任意实数的广义Laguerre函数正交逼近
• 3.2 当α为任意负整数时的广义Laguerre正交逼近及拟正交逼近
• 3.2.1 当α为任意负整数时的广义Laguerre正交逼近
• 3.2.2 广义Laguerre拟正交逼近
• 3.3 广义Laguerre-Gauss-Radau插值
• 3.4 高阶问题的Petrov-Galerkin谱方法
• 3.4.1 准备工作
• 3.4.2 高阶微分方程非齐次Dirichlet边值问题的谱方法
• 3.4.3 高阶微分方程混合非齐次边值问题的谱方法
• 3.5 数值结果
• 3.5.1 高阶微分方程非齐次Dirichlet边值问题的谱方法
• 3.5.2 高阶微分方程混合非齐次边值问题的谱方法
• 3.6 结论
• 第四章 第二类广义Laguerre逼近理论及其应用
• 4.1 当α为任意实数时的新广义Laguerre正交逼近及拟正交逼近
• 4.1.1 当α为任意实数时的新广义Laguerre正交逼近
• 4.1.2 当α为负整数时的新广义Laguerre正.交逼近
• 4.1.3 当α为负整数时的新广义Laguerre拟正交逼近
• 4.2 新的广义Laguerre-Gauss-Radau型插值
• 4.3 Petrov-Galerkin区域分解谱方法
• 4.3.1 准备工作
• 4.3.2 高阶微分方程非齐次Dirichlet边值问题的区域分解谱方法
• 4.3.3 高阶微分方程混合非齐次边值问题的区域分解谱方法
• 4.3.4 精确拟合混合边界条件的谱方法
• 4.4 数值结果
• 4.4.1 高阶微分方程非齐次Dirichlet边值问题的区域分解谱方法
• 4.4.2 高阶微分方程混合非齐次边值问题的区域分解谱方法
• 4.4.3 高阶微分方程混合非齐次边值问题的谱方法
• 4.5 结论
• 第五章 第三类广义Laguerre逼近理论及其应用
• 5.1 拟合无穷远处渐近行为的广义Laguerre交逼近和拟正交逼近
• 5.1.1 新的广义Laguerre正交逼近
• 5.1.2 当α为负整数时的广义Laguerre正交逼近
• 5.1.3 广义Laguerre拟正交逼近
• 5.2 新的广义Laguerre-Gauss-Radau型插值
• 5.3 Petrov-Galerkin谱方法和区域分解谱方法
• 5.3.1 准备工作
• 3.3.2 高阶傲分力程非齐次Dirichlet边值问题的谱方法
• 5.3.3 高阶微分方程混合非齐次边值问题的谱方法
• 5.3.4 高阶微分方程混合非齐次边值问题的区域分解谱方法
• 5.4 数值结果
• 5.4.1 高阶微分方程非齐次Dirichlet边值问题的谱方法
• 5.4.2 高阶微分方程混合非齐次边值问题的区域分解谱方法
• 5.5 结论
• 附录A
• 附录B
• 附录C
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果
• 致谢