求解时连续代数Riccati方程的不变子空间方法研究

论文摘要

物理和工程中的许多问题,如线性二次最优控制、Kalman滤波、H_∞控制、完全最小二乘问题及两点边值问题等,最终会归结为一类特殊方程—代数Riccati方程的求解问题,不变子空间方法是求解这类方程的一种有效方法,这涉及到数值求解矩阵的特征问题。本文研究讨论的重点是基于不变子空间方法的Hamilton矩阵特征问题,该问题对求矩阵的实或复的稳定半径、计算传输矩阵的H_∞范数、计算化学中的线性响应理论要求按模极大找到Hamilton矩阵的部分特征值及对应的特征向量等问题具有重要的理论意义和实用价值。针对这个问题,寻求一种在数值上稳定并保持Hamilton结构的有效的算法在数值界一直悬而未决。本文在前人的经验和结果的基础上改进了计算Hamilton矩阵的(近似)特征值方法。首先介绍了Hamilton矩阵特征问题的来源,解决这类问题的基本方法以及各方法的优缺点,通过比较,确定了计算Hamilton矩阵特征值及不变子空间这一研究方向。通过对辛几何中一些概念的介绍及其代数结构的性质分析导出了辛矩阵的概念,并指明了在辛几何的框架下以辛矩阵为工具对Hamilton矩阵特征值问题进行研究。然后给出了求解Hamilton矩阵特征问题的一些理论结果及常见的标准形式,并对SR算法的框架作了粗略地介绍。在接下来的章节中将辛Lanczos过程展开为计算Hamilton矩阵的全部或部分极特征值的辛Lanczos算法,并对其终止条件和误差估值作了分析和说明;最后在原有的SR算法的基础上引入了平方化策略从而节省了运算量,并对隐式和显式版本的SR方法作了比较分析,对其数值性质作了有益的探索。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 1 绪论
• 1.1 问题背景及来源
• 1.2 问题意义
• 1.3 解代数Riccati方程常用的方法
• 1.3.1 迭代法
• 1.3.2 矩阵符号函数法
• 1.3.3 标准型法
• 1.3.4 嵌入参数法
• 1.3.5 Riccati微分方程法
• 1.4 本文的主要工作
• 2 辛空间中的线性代数
• 2.1 Lagrange力学与Hamilton力学
• 2.2 辛几何介绍
• 2.3 辛空间及其子空间
• 2.4 辛变换及其矩阵表示
• 2.5 辛矩阵的性质
• 3 Hamilton矩阵及其性质
• 3.1 基本概念和性质
• 3.2 标准型和因子分解
• 4 Hamilton矩阵特征值问题的辛Lanczos算法
• 4.1 引言
• 4.2 辛Lanczos过程基础及其性质
• 4.3 算法及实现条件
• 4.4 误差估值
• 5 求解Hamilton矩阵特征值的一种平方化方法
• 5.1 方法初步
• 5.2 平方Hamilton矩阵及其性质
• 5.3 平方Hamilton矩阵的约化
• 5.4 隐式版本的SR方法
• 5.5 关于两类辛变换矩阵的几点说明
• 5.6 数值性质和实验
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
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