结构线性方程组的迭代方法与扰动分析

论文摘要

论文主要分为两部分，讨论结构化线性方程组的迭代方法和扰动分析。第一，二章是关于迭代方法的。第一章讨论预条件技术，针对对流扩散问题和Oseen问题离散后系数矩阵所具有的特殊结构，用近似Kronecker积构造预条件子。从而改善系数矩阵的谱性质，加速迭代方法的收敛。第二章讨论非精确的Krylov子空间方法。当外迭代用Krylov子空间方法，内迭代可以用松弛策略，非精确地求解。重点分析了非精确的BiCGStab方法，并提出了相应的松弛策略。讨论了Schur补方程，相关方程用非精确Krylov子空间方法求解时的收敛行为，还提出了与Monte Carlo方法结合的思想。第三至第五章是关于扰动分析的。第三章讨论鞍点问题的结构化向后误差和条件数，给出了鞍点问题结构化向后误差的一般表达式，并用结构化条件数分析了解的敏感性。第四章用矩阵导数作为工具推导Cauchy矩阵，Vandermonde矩阵等结构化矩阵的混合型和分量型条件数。在第五章我们考察了带Kronecker积的线性系统，得到了与经典结果类似的条件数，并讨论了其二层条件数。第六章给出了关于子空间距离和奇异值极大极小性质的一个注记。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 第一章 预条件技术
• §1.1 对流扩散问题
• 1.1.1 迎风格式和SUPG格式离散
• 1.1.2 Kronecker积近似及预条件
• §1.2 鞍点问题
• 1.2.1 Oseen方程的差分离散
• 1.2.2 预条件子的构造
• 1.2.3 求解非奇异与奇异方程组的对比
• §1.3 小结
• 第二章 非精确Krylov子空间方法
• §2.1 松弛策略
• §2.2 非精确BiCGStab
• §2.3 Schur补方程
• §2.4 Related方程
• §2.5 Monte Carlo方法
• §2.6 小结
• 第三章 鞍点问题
• §3.1 结构化向后误差
• 3.1.1 最简单的情形
• 3.1.2 三个引理
• （θ）（（?）,（?））的表达式及上下界'>3.1.3 η^（θ）（（?）,（?））的表达式及上下界
• （θ,λ,μ）（（?）,（?））的表达式及上下界'>3.1.4 η^{（θ,λ,μ）}（（?）,（?））的表达式及上下界
• 3.1.5 结构化向后误差与非结构化向后误差的比较
• (（λ,μ）（（?）,（?））的表达式'>3.1.6 γ⁽（λ,μ）（（?）,（?））的表达式
• 3.1.7 特殊情形的处理
• 3.1.8 数值例子
• §3.2 非线性扰动界
• §3.3 结构化条件数
• 3.3.1 整体条件数
• 3.3.2 独立条件数和偏条件数
• 3.3.3 解的敏感性分析
• 3.3.4 例子
• §3.4 小结
• 第四章 结构化矩阵
• §4.1 经典结果
• §4.2 Cauchy矩阵
• §4.3 Vandermonde矩阵
• §4.4 Toeplitz和Hankel矩阵
• §4.5 循环矩阵
• §4.6 数值例子
• §4.7 小结
• 第五章 带Kronecker积的线性系统
• §5.1 方程（A（?）B）x=d的扰动理论
• 5.1.1 范数型扰动理论
• 5.1.2 分量型扰动理论
• 5.1.3 到奇异的距离和最优p—范数条件数
• §5.2 二层条件数
• §5.3 数值例子
• §5.4 小结
• 第六章 关于子空间距离的一个注记
• 第七章 附录
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表或接受发表的论文
• 致谢