Theta函数恒等式的证明及应用

论文摘要

利用经典分析方法及组合计算技巧，例如函数方程，Liouville定理，级数重排等，本文着重研究theta函数中的乘积恒等式．在对已有恒等式提供新的证明的基础上，作者发现许多新的有趣的乘积恒等式，并详细讨论它们在组合计算，解析数论等方面的应用．其具体内容如下：1．利用两种不同的方法，作者建立一个关于两个Jacobi三重积之乘积展开的广义公式，它可以看作是五重积，六重积和七重积恒等式的统一形式．作为它的主要应用，作者推导出许多关于（?）（q）与（?）（q）乘积展开的恒等式，并重新证明许多由Chen和Huang得到的GSllnitz-Gordon函数恒等式．2．受Chan得到的（q；q）∞10的二重级数表示公式的启发，作者构造一个新的关于五重积的差分公式，并澄清迄今为止所出现的四个对称差恒等式之间成对等价的关系．此外，作者重新证明其中另外两个对称差恒等式，并利用Chan的（q；q）∞10的二重级数表示公式重新确认Ramanujan的关于分拆函数的模11同余性质．3．作者提出利用Liouville定理作为证明theta函数恒等式的基本方法，并以Watson五重积，Hirschhorn七重积恒等式，四个与分拆函数中Ramanujan的模11同余有关的对称差恒等式，以及两个与Rogers-Ramanujan函数G（q），H（q）有关的theta函数恒等式为范例，论证这种方法的有效性．4．利用Jacobi三重积恒等式及其线性组合，作者得到许多有趣的恒等式，其中包括Baruah-Berndt[12，13]中的theta函数恒等式，Watson[82]，Robins[75]，Berndt etal[14]中的Rogers-Ramanujan函数恒等式，以及Ramanujan[9，Thin 1．6．1]中的模函数公式等经典结果．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 0 绪论
• 1 两个三重积的乘积展开公式
• 1.1 五重积,六重积,七重积恒等式的统一形式
• 1.1.1 Watson五重积恒等式
• 1.1.2 Ewell六重积恒等式
• 1.1.3 Hirschhorn七重积恒等式
• 1.1.4 其它的theta函数恒等式
• 1.2 函数φ（q）与ψ（q）的乘积展开及其应用
• 1.2.1 函数φ（q）与ψ（q）的乘积展开
• 1.2.2 G（o|¨）llnitz-Gordon函数恒等式
• 1.3 本章小结
• 2 Winquist恒等式和Ramanujan的模11同余性质
• 2.1 三个对称差恒等式
• 2.2 第四个对称差恒等式
• 2.3 Ramanujan的模11同余性质
• 2.4 本章小结
• 3 Liouville定理和Theta函数恒等式
• 3.1 Watson五重积恒等式
• 3.2 Hirschhorn七重积恒等式
• 3.3 再述对称差分解公式
• 3.4两个Rogers-Ramanujan函数恒等式
• 3.5 本章小结
• 4 Jacobi三重积和Theta函数恒等式
• 4.1 Theta函数恒等式
• 4.2 Rogers-Ramanujan函数恒等式
• 4.3 Ramanujan的模函数公式
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢