非线性波系统的精确解与解析近似解

论文摘要

非线性偏微分方程的求解作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题,极具挑战性。目前,虽然国内外众多学者已经提出和发展了许多求非线性偏微分方程精确解和近似解的有效方法,但尚无统一而普适的方法,因此继续寻找一些有效可行的方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。本文在对非线性偏微分方程的现有解法进行了较为系统和深入研究的基础上,对Riccati方程方法进行了改进,简化、丰富和发展了已有结果,对传统的F展开法进行了归纳、修正和推广,并应用改进的Riccati方程方法、Backlund变换法和F展开法研究一类非线性波系统,不但获得了已有的结果,而且得到了许多有意义的新解。这对于发现新的孤立子、研究孤子方程的长期动力学行为和揭示孤子的结构必将产生积极的影响。然而,由于偏微分方程本身的复杂性,在目前尚无求通解的手段的前提下,能够求特解的方程只是很少的一部分,而能够精确求解的方程更是少之又少,因此研究方程的近似解成为新的热点。随着计算机科学的快速发展,应用计算机来给出非线性偏微分方程的解析近似解在理论上已成为可能。本文在TTE的框架下,运用算子理论和方法,证明了组合KdV方程的解算子是可计算的,从而可以在计算机上给出该系统初值问题的解析近似解。这一工作属国内首创,极大地丰富和发展了非线性偏微分方程解法研究的内容,具有重大的理论意义和应用价值。全文共分八章。首先对波问题及其求解方法与可计算理论的研究历史和现状进行了综述;第二章介绍了孤立波的有关知识,给出了孤立子的定义和发生机理,对目前所知道的孤立子进行了分类;第三章介绍了与本文相关的可计算性基本概念,给出了多种可计算空间的定义及其相应空间上的可计算性质;第四章将传统的Riccati方程方法进行了改进,并应用该方法研究了非线性波系统的精确解。第五章应用Backlund变换得到了变系数组合KdV-Burgers方程的N-类孤子解;第六章应用F展开法及其扩展形式得到了变系数组合KdV方程和（n+1）维Sine-Gordon方程的孤立波解;第七章运用算子方法、压缩映象原理和TTE理论,证明了组合KdV方程的解算子是可计算的;最后对全文进行了总结,并对未来的研究方向作了展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 波问题的研究概述
• 1.2 求解非线性波方程的解析方法
• 1.3 求解非线性波方程的近似方法
• 1.4 本文的主要内容及特点
• 第二章 孤立波及其相关概念
• 2.1 孤立子的定义和发生机理
• 2.2 Jacobi椭圆函数
• 2.3 孤立子的结构和分类
• 第三章 可计算性及其预备知识
• 3.1 基本定义和引理
• 3.1.1 图灵机简介
• 3.1.2 前缀和子词
• 3.1.3 串函数的图灵可计算性
• 3.1.4 可计算元
• 3.1.5 表示
• 3.2 常见空间的可计算结构
• 3.2.1 可计算度量空间
• n空间'>3.2.2 可计算Rⁿ空间
• 3.2.3 可计算C（R）空间
• 2（R）空间'>3.2.4 可计算L²（R）空间
• s（R）空间'>3.2.5 可计算H^s（R）空间
• ∞（R）空间'>3.2.6 可计算C^∞（R）空间
• k^∞（R）空间'>3.2.7 可计算C_k^∞（R）空间
• 3.2.8 可计算S（R）空间
• 第四章 推广的Riccati方程方法及其应用
• 4.1 Riccati方程方法及一类非线性波方程
• 4.1.1 Riccati方程方法及其推广形式
• 4.1.2 一类非线性波方程
• 4.2 广义KdV和广义KdV-Burgers方程的显式精确解
• 4.2.1 含任意阶非线性项的广义KdV方程的显式精确解
• 4.2.2 含任意阶非线性项的广义KdV-Burgers方程的显式精确解
• 4.3 带强迫项变系数组合KdV-Burgers方程的显式精确解及其应用
• 4.3.1 带强迫项变系数组合KdV方程的显式精确解
• 4.3.2 带强迫项变系数Burgers方程的显式精确解及其应用
• 4.4 广义RLW和广义RLW-Burgers方程的显式精确解
• 4.4.1 广义RLW方程的显式精确解
• 4.4.2 广义RLW-Burgers方程的显式精确解
• 4.4.3 RLW-Burgers方程的显式精确解
• 4.4.4 RLW方程和Burgers-KdV方程的精确解
• 4.5 一类变系数组合KdV方程组的显式精确解
• 4.6 广义（2+1）-维Broer-Kaup系统新的显示精确解
• 4.6.1 B=0的情形
• 4.6.2 B≠0的情形
• 第五章 Backlund变换及其应用
• 5.1 Backlund变换和Auto-Backlund变换
• 5.2 变系数组合KdV-Burgers方程的Backlund变换和N-类孤子解
• 5.2.1 组合KdV-Burgers方程的N-孤子解
• 5.2.2 变系数组合KdV-Burgers方程的N-类孤子解
• 第六章 F-展开法及其应用
• 6.1 F-展开法
• 6.2 变系数组合KdV方程的孤立波解及其参数控制
• 6.3（n+1）维Sine-Gordon方程的精确解
• 6.3.1（n+1）维Sine-Gordon方程的行波解
• 6.3.2 SG方程解的退化形式
• 第七章 组合KdV方程的近似解
• 7.1 mKdV方程的近似解
• 7.1.1 主要定理
• 7.1.2 解的有界性
• 7.1.3 迭代序列的收敛性
• 7.1.4 迭代序列的一致收敛性
• 7.2 含强迫项组合KdV方程的近似解
• 7.2.1 主要定理
• 7.2.2 三个命题
• 第八章 结论与展望
• 参考文献
• 附录
• 致谢
• 攻读博士学位期间发表的学术论文及其他科研成果