CTSVD方法及数值微分

论文摘要

本文将提出求解不适定问题一个新的方法—典则截断奇异值方法,它是经典截断奇异值方法的一种改进方法,理论和数值结果都显示它很好的改进了经典截断奇异值方法的缺陷,而且这种修正并不需要增加计算量。由于获得一个算子的奇异值一般需要较大的计算量,因此截断奇异值方法一直没有得到充分重视。但是在本文中我们将发现相对于其它正则化方法而言,对于真解光滑度较高的情况,截断奇异值类方法能够得到更好收敛结果。这表明对于奇异值类方法进行更加深入的研究是十分必要的。有些实际问题中对应算子的奇异系是容易获得的,对于这类问题截断奇异值类方法的优势将更加显著,数值微分就是一个这样的问题,我们将在本文中结合典则截断奇异值方法对这一问题进行深入研究。数值微分是一个典型的不适定问题,在测量过程中的微小误差会造成数值结果的巨大误差。目前已有一些方法被用来解决这个问题。本文将首先指出一种传统方法的不足,并给出相应的改进策略。我们将看到只是对于求解算子细微的变化就带来了解收敛性态质的改善,这提醒我们对于不适定问题而言,合理的选择求解的方式是十分重要的。接下来我们将结合L—广义解典则截断奇异值方法探讨一般的一维数值微分的求解问题。我们从一个新的角度引入磨光方法,通过辅助方程搭建起磨光方法和L—广义解正则化方法的桥梁。从而简化了方法的理论分析过程,也为一维数值微分问题构建了一般的理论框架。接下来我们进一步探讨两维函数的数值微分问题,我们将看到结合前面提出的磨光方法的框架以及对算子L的合理选择,前面对于一维函数获得的结果很容易平行推广至两维乃至任意有限维空间。而且对于规则区域算子的奇异系是很容易获得的,这可以大大减少算法的计算量。对于不规则区域而言,一方面我们可以通过数值方法来求解奇异系,另一方面,由于方法的理论结果对于一般正则化方法而言都是成立的,所以我们完全可以不去求奇异系而通过其它正则化方法来实现磨光的策略。这为一般的数值微分问题提供了一个新的一般框架。而且我们看到对于数值微分问题而言,我们可以通过L—广义解正则化理论建立起数值解相应于真解在Sobolev空间意义下光滑性的收敛结果,这为不适定问题理论的进一步发展具有重要借鉴意义。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第一章 预备知识
• §1.1 Hilbert空间紧算子的谱理论
• §1.2 正则化解的收敛性质及TSVD方法简介
• §1.3 Fourier级数理论
• §1.4 Sobolev空间理论
• 第二章 cTSVD方法理论
• §2.1 cTSVD方法的引入
• §2.2 定理2.1.1的证明
• §2.3 残差准则中τ的选取
• §2.4 数值实验及与其它正则化方法的比较
• 第三章 一阶数值微分的求解
• §3.1 原始算子及其缺陷
• §3.2 改进方法一—端点预估
• §3.3 改进方法二—算子变异
• §3.4 周期函数的数值微分
• §3.5 小结
• §3.6 附录:几种正则化方法的数值比较
• 第四章 L—广义解及高阶微分
• §4.1 L—广义解理论
• §4.2 算子K在L广义解意义下的奇异系及相应性质
• §4.3 磨光方法的引入
• §4.4 微分问题的一般性讨论及一个两阶微分求解算法
• §4.5 小结
• 第五章 两维函数的数值微分
• §5.1 一阶偏微分的求解
• §5.2 二维函数数值微分问题的一般性讨论及一个二阶微分求解算法
• §5.3 周期函数偏微分的求解
• §5.4 注:有限维空间数值微分的一般结果
• 第六章 Abel变换的数值反演
• §6.1 问题及相应结果
• §6.2 算法实现
• 参考文献
• 致谢