Basin混合的SRB吸引子与一类平面向量场的分支图

论文摘要

本文主要分为两部分。第一部分属于光滑遍历论范畴。我们考虑一类定义在乘积空间上的非双曲微分同胚,借助Pesin理论以及一致双曲动力系统的基本理论,研究了此类系统的遍历论。证明了其恰好存在两个SRB吸引子,且它们的basin是全概率的,所以此类系统属于近来人们所猜测的所有动力系统空间中的“典型系统”。我们还进一步证明这个系统的SRB吸引子的basin具有一种被称之为intermingled的复杂奇异现象,即所有basin是测度稠密地混合在一起而不可分割。这一类现象在现实物理系统中已被大量的数值实验所观测到,并且被认为与物理,生物,计算理论等很多根本性问题有关。最后,我们讨论了一个具体的实例作为主要结果的应用。第二部分属于向量场的几何理论。我们利用常微分方程定性方法,研究了一类平面Lienard系统的相图结构与分支问题。根据Poincare-Bendixson原理,我们构造了一个全局正向不变集,进而证明了极限环的存在性,唯一性以及稳定性。并利用旋转向量场的思想,确定了不存在极限环的参数区域。特别地,利用本文的方法,可以不必研究无穷远奇点而得到系统的全局性质。由此,我们得到了此类系统完整的全局相图结构以及全参数分支图。最后,我们把所得结果应用到一个生理学的模型上,并讨论了周期扰动下的共振现象。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引论
• 1.1 历史的回顾
• 1.1.1 经典力学与三体问题
• 1.1.2 统计物理与遍历假设
• 1.1.3 电子工程与振动理论
• 1.2 结构安排
• 第二章 预备知识
• 2.1 动力系统的基本概念
• 2.1.1 向量场,流与微分同胚
• 2.1.2 拓扑观点
• 2.1.3 统计观点
• 2.2 一致双曲理论简介
• 2.2.1 微分拓扑观点
• 2.2.2 光滑遍历观点
• 2.2.3 关于公理A系统
• 第三章 Basin混合的SRB吸引子
• 3.1 引言
• 3.2 基本事实
• 3.3 主要结果
• 3.4 定理3.5的证明
• 3.4.1 Pesin理论与倾角引理
• 3.4.2 定理3.5证明的完成
• 3.5 定理3.6的证明
• 3.5.1 斜率与Distortion控制
• 3.5.2 定理3.6证明的完成
• 3.6 应用举例
• 第四章 一类特殊Lienard方程的相图与分支图
• 4.1 引言
• 4.2 主要结果
• 4.3 相图结构分析
• 4.3.1 奇点的稳定性
• 4.3.2 正向不变集
• 4.3.3 极限环的唯一性
• 4.4 系统的分支图
• 4.5 对生理学的应用
• 4.5.1 原始模型的相图分析
• 4.5.2 扰动系统的共振现象
• 第五章 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间完成的论文
• 致谢
• 索引