广义BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程的Cauchy问题

论文摘要

本文分三章:第一章为引言;第二章利用压缩映射原理研究广义BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程Cauchy问题局部广义解的存在唯一性;第三章利用解的延拓定理证明上述Cauchy问题整体广义解的存在唯一性,并研究整体解的衰减性质.具体情况如下:我们研究下面广义BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程的Cauchy问题其中v（x,t）表示未知函数, G（s）,g（s）,fj（s）,（j=1,2,…,n）,为给定的非线性函数,△表示Laplace算子,α＞0,β＞0,γ＞0,δ≠0为常数,v0（x）是定义在Rn上的已知初值函数.为讨论简单起见,作展缩变换v（x,t）=u（y,τ）=u（?）,则方程（1）变成若记h（u）=（（?）-1）u+（?）g（u）,（?）=a,（?）=b,则上面的方程可写为不失一般性,研究下列Cauchy问题其主要结果如下:定理1设s＞n/2,φ（x）∈Hs（Rn）,h（ξ）,fj（ξ）,（j=1,2,…,n）,G（ξ）∈Ck（R）,k=[s]+1,h（0）=fj（0）=G（0）=0,（j=1,2,…,n）,则问题（3）,（4）存在唯一的局部广义解其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,同时,如果则T0=∞.定理2设s＞n/2,φ（x）∈Hs（Rn）,h（ξ）,fj（ξ）,（j=1,2,…,n）,G（ξ）∈Ck（R）,k=[s]+1,h（0）=fj（0）=G（0）=0,（j=1,2,…,n）,[0,T0)是Cauchy问题（3）,（4）解存在的最大时间区间,则T0＜∞的充要条件是定理3（三维情形）设s＞9/2,φ（x）∈Hs（R3）,h（ξ）,fj（ξ）,（j=1,2,3）,G（ξ）∈Ck（R）,k=[s]+1,h（0）=fj（0）=G（0）=0,|fj（ξ）|≤C|ξ|3,（j=1,2,3）,ξG（ξ）≤-C|ξ|2+λ,（λ＞0,ξ∈R）,h’（ξ）≥0,|h"（ξ）|≤C（1+|ξ|μ）,μ＞0,10μ＜λ+2,其中C＞0是常数,则问题（3）,（4）存在唯一的整体广义解注1在定理3的条件下,当s＞11/2时,Cauchy问题（3）,（4）存在唯一的整体古典解定理4（二维情形）设s＞4,φ（x）∈Hs（R2）,h（ξ）,fj（ξ）,（j=1,2）,G（ξ）∈Ck（R）,k=[s]+1,h（0）=fj（0）=C（0）=0,（j=1,2）,ξG（ξ）≤0,h’（ξ）≥0,|h’（ξ）|≤C（1+|ξ|2）,|G（ξ）|≤C|ξ|3,|fj（ξ）|≤C|ξ|3,（j=1,2）,其中C＞0是常数,则问题（3）,（4）存在唯一的整体广义解注2在定理4的条件下,当s＞5时,Cauchy问题（3）,（4）存在唯一的整体古典解定理5（一维情形）设s＞7/2,φ（x）∈Hs（R）,h（ξ）,f（ξ）,,G（ξ）∈Ck（R）,k=[s]+1,h（0）=f（0）=G（0）=0,ξG（ξ）≤0,h’（ξ）≥0,则问题（3）,（4）存在唯一的整体广义解注3在定理5的条件下,当s＞9/2时,Cauchy问题（3）,（4）存在唯一的整体古典解定理6设n=3,s＞9/2,φ（x）∈Hs（Rn）,h（ξ）,fj（ξ）,（j=1,2,…,n）,G（ξ）∈Ck（R）,k=[s]+1,h（0）=fj（0）=G（0）=0,|fj（ξ）|≤C|ξ|3,（j=1,2,…,n）,ξG（ξ）≤-C|ξ|2+λ,（λ＞0,ξ∈R）,G’（ξ）≤-B＜0,h’（ξ）≥A＞0,|h"（ξ）|≤G（1+|ξ|μ）,μ＞0,10μ＜λ+2,则问题（3）,（4）的整体解具有渐近性质其中λ=min{A+1,bB}注4在定理4（n=2）或定理5（n=1）的条件下,若也进一步假设则问题（3）,（4）的整体解同样具有渐近性质（7）.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 Cauchy问题（1.6）,（1.7）局部广义解的存在性和唯一性
• §1 线性抛物型方程解的存在性和唯一性
• §2 Cauchy问题（1.6）,（1.7）局部广义解的存在性和唯一性
• 第三章 Cauchy问题（1.6）,（1.7）整体解的存在性,唯一性和解的渐近性质
• §1 Cauchy问题（1.6）,（1.7）整体解的存在性和唯一性
• §2 Cauchy问题（1.6）,（1.7）解的渐近性质
• 参考文献
• 致谢