具非线性阻尼和激励力的Duffing系统的复杂动态

论文摘要

本学位论文应用动力系统中的分支与混沌理论、二阶平均方法、梅尔尼科夫方法以及数值模拟方法研究带有非线性阻尼和外力激励的Duffing系统。通过运用梅尔尼科夫方法,得到周期扰动下的Duffing系统的混沌存在性条件。通过运用二阶平均方法和梅尔尼科夫方法,得到拟周期扰动下(两个外力频率之比约为1:1,1:3,1:5且为无理数)的Duffing系统的平均系统的混沌存在性条件。通过数值模拟即画出同宿与异宿分支曲面、分支图、最大李雅普诺夫指数图、相图和庞卡莱截面相图,不仅验证了理论分析结果,还发现了原系统的一些新的复杂动态,如对称破缺、周期2轨通过逆向倍周期分支通向混沌,正向倍周期分支通向混沌,多个混沌吸引子的共存,边界危机,混沌的突然消失,周期1轨通过正向倍周期分支通向混沌,混沌的突然消失并变为周期1轨,再经过正向倍周期分支通向混沌,混沌尺度的突然增大,周期6窗口,混沌动态收敛为周期4轨,周期轨道和混沌吸引子的共存,周期轨道、拟周期轨道和混沌动态的交替转换,等等。所获理论和数值结果有助于丰富分支和混沌理论的研究。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 基础知识
• 1.1 动力系统概述
• 1.2 平均方法
• 1.3 Melnikov方法
• 1.3.1 同宿轨道的Melnikov 函数
• 1.3.2 异宿轨道的Melnikov 函数
• 1.4 混沌简介
• 第二章 背景知识
• 第三章 周期扰动下系统的混沌
• 3.1 未扰动系统的定性分析
• 3.2 周期扰动下系统的混沌
• 3.3 数值模拟
• 第四章 拟周期扰动的混沌
• 4.1 平均系统
• 4.2 平均系统的混沌
• 4.3 数值模拟
• 参考文献
• 致谢
• 附录A 攻读学位期间发表论文目录