论文摘要
随着信息科技的高速发展,一种稳定而又高速的传输信息的手段显得日益迫切。对于不同的信道模型,人们提出了各式各样的编码来接近Shannon极限。在这些编码里面,既有较为古老而又成熟的Reed-Solomon码,Reed-Muller码等,也有近来比较热门的网络编码,空时编码等。它们对于不同的应用环境有着自己的优势,并且互相都有不可替代性。本论文主要就是研究一些不同的编码里面的一些理论问题。本论文的贡献主要可以列为如下几点。1.网络编码中的多源网络。本文第2,3两章就是研究多源网络中的一些性质。我们知道在单源网络中,线性网络编码就可以达到网络的容量上限。这个性质在多源网络中并不成立,除此之外,对于多源网络,我们知道的很少,凡是所有已知的,几乎都是与单源网络的结论不同。换句话说,研究多源网络的性质基本上以反例为主。我们现在知道的有,它的容量上限无法用Shannon不等式得到,非线性网络编码可以比线性网络编码给出更大的带宽等。我们在第2章中通过构造出一类具有特殊性质的网络,我们证明给定任意的正整数n,存在多源网络,它的容量上限不可达到如果它的有限域比n来的小。当然它是我们构造的这类网络的副产品。我们把原来文[30]中提出的具有某种性质的网络推广到了任意n个源节点的情况,并且仍然满足这个性质。而在第3章中,我们进一步给出了拟阵网络的构造,它比原来的构造具有更好的性质,比如它能反映拟阵的一些性质,并且它与与原来的拟阵吻合的相当不错。2.网络卷积码的安全问题。在第4章中,我们推广了原来网络编码安全问题,将原来无回路的网络安全编码推广到有回路的网络中,我们要求它仍然具有原来无回路网络中相对应的弱安全或强安全特性。为了满足如上的要求,我们引入了交换代数中的不变因子定理。在它的帮助下,我们成功的证明了网络编码在有回路网络中也是存在安全特性的,具体而言,如果有限域足够大,我们不需要对原有编码做太大改动,在源节点做信息的线性组合即可。而对于有限域较小时候,我们需要重新构造一类安全的网络卷积码。3.局部可译码的构造。在第5章中,我们研究了最近比较热门的局部可译码的构造问题。它虽然不是一类码率很高的编码。但它在数据存储和密码里面有很多应用。它的一个很好的特性就是对于某个比特的译码无需知道整个码字的消息。一个很重要的局部可译码就是Reed-Muller码。最近新出现的一种利用匹配向量（matching vectors）来构造局部可译码的方法,它能给出一种亚指数长度的局部可译码,在询问次数是常数的条件下优于Reed-Muller码,我们在这一章给出了一种目前最优的匹配向量。彳.复正交空时编码的构造。在第6章中,我们研究了在无线通信系统中有着重要应用的正交空时分组码。它能达到较大的分集增益和编码增益。为了能够达到更大的码率和更小的延迟,我们有必要设计一类理论上最优的复正交空时码。它的理论上界已经由很多学者给出。并且它们也给出了基于算法和递归的一些构造,但这些构造无显式表示,从而也谈不上优美的数学结构。在第6章中,我们给出了达到最大码率和最小延迟的一类复正交空时编码,我们的构造完全基于显式表示,换句话说我们可以直接得到每个位置元素的确切表达式。这也是我们已知的首个显式表示的复正交空时编码。