半群的半直积、同余及性质

论文摘要

本文第一章是关于半直积的研究。关于半直积的研究，[3]，[5]…均用幂等元法对其进行了刻画，本文充分考虑到完全正则半群的J-关系为同余重要条件，讨论此类半群半直积的结构，由此得到的结果比用幂等元法所刻画的结果要好的多。这就提示我们，对不同类型的半群的半直积的研究，应充分挖掘其独特的性质和特点，并采取不同的讨论方法，就会使这一研究更加丰富多彩。具体内容如下：定理1．2．4设S和T为半群，α∶S→End（T）：s（?）α（s）为给定的半群同态映射，半直积S×αT是左正则orthogroup的充要条件是：（1）对任意的e∈E（S），te=t，其中t∈T；（2） S和T均是左正则orthogroup；（3） （?）t∈T，s∈S，有tJts。定理1．2．6设S和T为半群，α∶S→End（T），s（?）α（s）为给定的半群同态映射，半直积S×αT是左正则密码群的充要条件是：（1）对任意的e∈E（S），te=t，其中t∈T；（2） S和T均是左正则密码群；（3） （?）t∈T，s∈S，有tJts；（4） （?）s1，s2∈S，u，v∈E（T），uvs21s1=uvs21。定理1．3．2设半直积S×αT为左正则密码群，σS×αT为最小群同余，则（s1，t1）σS×αT（s2，t2）（?）s1σSs2，t1σTt2。定理1．3．3设半直积S×αT为左正则密码群，对任意的s1，s2∈S，t1，t2∈T，则（1） （s1，t1）LS×αT（s2，t2）（?）s1LSs2，t1LTt2。（2） （s1，t1）JS×αT（s2，t2）（?）s1JSs2，t1JTt2。第二章关于半群的广义素同余。郭聿琦已经证明了在任意半群上完全半素同余是完全素同余的交。Shumk．p和谢湘云分别讨论了在Λ-半格和交换序半群上的n-素理想。在这篇文章中，我们讨论了素同余，半素同余和n-素同余。证明了每个半素同余（特别的n-素同余）是素同余（特别的（n-1）-素同余）的交。具体内容如下：定理2．2．6 S是半群，则以下条件是等价的：（1） S上的一个Rees同余是半素的当且仅当它是一族素的Rees同余的交；（2） S是弱可约半群当且仅当S同构于一族weakly integral半群的次直积；（3） S上的同余ρ是半素的当且仅当ρ是S上的一族素同余的交。引理2．3．4 S是半群，F是S的子半群。F是n-滤集，且由（?）x∈S，xn∈F得x∈F当且仅当S＼F是S的n-素理想。定理2．3．10 S是半群，则以下条件是等价的：（1）每个完全半素且n-素Rees同余是一族包含它的（n-1）-素Rees同余的交；（2）每个可约的且n-可积半群是一族（n-1）-可积半群的次直积；（3）每个完全半素且n-素同余是S上一族（n-1）-素同余的交。第三章关于π-正则半群与理想。我们已经系统学习了理想、主理想、真理想、π-逆半群、π-纯正半群、强π-逆半群等等。对其性质有了较为深入的了解。这一章中，我们用理想、主理想、真理想刻画了π-正则半群；用主理想刻画了左π-逆半群、右π-逆半群、π-逆半群、π-纯正半群、强π-逆半群等等。具体内容如下：定理3．2．2 S为半群，以下结论成立：（1） S为左π-逆半群当且仅当S的每个主理想是左π-逆半群；（2） S为右π-逆半群当且仅当S的每个主理想是右π-逆半群；（3） S为π-逆半群当且仅当S的每个主理想是π-逆半群。定理3．2．3 S为半群，以下结论成立：（1） S为π-纯正半群当且仅当RegS是S的子半群且S的每个主理想是π-纯正半群；（2） S为强π-逆半群当且仅当RegS是S的子半群且S的每个主理想是强π-逆半群。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 前言
• 第一章 左正则密码群的半直积、同余及性质
• 1.1 预备知识
• 1.2 左正则密码群的半直积
• 1.3 左正则密码群的群同余及性质
• 第二章 半群的广义素同余
• 2.1 预备知识
• 2.2 半群的素和半素同余
• 2.3 交换半群的广义素同余
• 第三章 π-正则半群与理想
• 3.1 预备知识
• 3.2 π-正则半群与理想
• 参考文献
• 学术论文发表目录
• 致谢