论文摘要
Plateaued函数是包含Bent函数和部分Bent函数的更大函数类。它具有很好的非线性度,可以满足相关免疫性、平衡性。而且可以不具有非零的线性结构,是一类密码学性质优良的密码函数,在密码学上有重要的应用。本文对Plateaued函数的密码学性质与构造方法进行了深入系统研究,主要研究结果和创新点如下:1.利用Walsh谱理论证明了当Plateaued函数具有线性结构时,其线性维数与阶数之间存在的关系。研究给出了Plateaued函数与部分Bent函数和Bent函数的关系,指出任一个部分Bent函数在满足一定条件时可折分成两个Plateaued函数。2.对Plateaued函数的扩散性进行了研究与分析,提出了Plateaued函数的二阶自相关系数概念,给出了其二阶自相关系数特征。给出了自相关系数非零点集的秩及其元素个数的上界,并给出了其完全非线性结构集的最大线性子空间维数的下界。3.研究分析了Plateaued函数的谱支集的结构与特性。提出了谱指标的概念,并分析了其谱指标特性;给出了低阶Plateaued函数谱支集的自相关特性;揭示了Plateaued函数的谱支集与自相关系数及平衡性之间的关系。4.对多输出Plateaued函数的性质进行了研究。利用多输出函数的特征函数及其谱值给出了多输出Plateaued函数的差分特征,指出了一类非平衡多输出Plateaued函数的各参数间关系,为在分组密码的S盒设计中利用此类函数奠定了理论基础。5.研究了Plateaued函数的构造问题。指出了如何由Bent函数和Plateaued函数出发构造新的Plateaued函数的构造方法;从阶数、维数和次数各不同方面给出了Plateaued函数的有效递归构造方法。提出了由弹性函数构造Plateaued函数的构造方法;利用推广形式的Maiorana-McFarland函数构造方法,给出了一种构造可满足相关免疫性、非退化性等性质的Plateaued函数的构造方法。给出了一种多输出Plateaued函数的具体构造方法。6.建立了Plateaued函数与最大线性移位寄存器序列和其采样序列互相关性问题研究之间的关系。指出可将研究一条最大线性移存器序列与其采样序列的互相关函数是三值的问题转化为研究有限域上Plateaued函数问题,并从函数的角度证明了一些具有三值互相关函数值的采样距所对应的有限域上布尔函数为Plmeaued函数。7.提出了有限域GF（q）上Plateaued函数的概念,初步研究了其性质与构造方法问题。