可积系统与混沌系统中若干问题的符号计算研究

论文摘要

基于符号计算,本文研究了非线性系统中可积系统与混沌系统中的若干问题,工作主要分以下两个部分：一、分别从延拓结构方法、Riccati型伪势与Bell多项式三个方面研究了非线性发展方程的可积性质：Lax对、自-Backlund变换、守恒律、奇异流形方程与双线性形式等,并开发了计算非线性发展方程双线性形式的一个程序包；二、构造了分数阶的Lorenz标准型与一个新的四维混沌系统,并给出了它们的数值模拟。第一章,介绍了本文所研究内容的理论背景与发展现状,其中包括非线性系统的可积性、延拓结构理论、符号计算与混沌系统。第二章,改进了延拓结构理论并将其应用于Qiao方程,得到了该方程的两个势与两个伪势,从中得到了新的反散射谱问题、Lax对与无穷多守恒律。将延拓结构理论扩展到变系数非线性发展方程,并应用于变系数KdV方程,得到了变系数KdV方程的Lax对与Pfaffian形式。第三章,构造了广义五阶KdV方程的Riccati型伪势,得到了广义五阶KdV方程在该条件下的Lax对与奇异流形方程。在三种条件下,得到了广义五阶KdV方程的新奇异流形方程与自-Backlund变换,其中CDG-SK方程、Lax方程与KK方程分别包含在这三种情况之中。第四章,基于Bell多项式,构造了得到非线性发展方程的双线性形式的机械化算法,并在Maple上给出了算法实现程序包。该程序包首先将非线性方程进行无维化,然后将无维化后的方程表达成P-多项式的线性组合,从而给出其双线性形式。并以实例验证了该算法的有效性和可靠性。第五章,构造了分数阶的广义Lorenz标准型与一个新四维混沌系统,分析了其动力学性质,并给出了数值模拟。通过选择不同的参数可以分别得到分数阶的经典Lorenz系统、Chen系统、Lu系统、Shimizu-Morioka系统与双曲型广义Lorenz系统。第六章,对全文的工作进行了总结和讨论,并对下一步工作进行了展望。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 非线性系统的可积性
• 1.2 延拓结构理论介绍
• 1.3 符号计算简介
• 1.4 混沌研究背景与现状
• 1.5 本文的选题和主要工作
• 第二章 非线性发展方程的延拓结构方法
• 2.1 延拓结构方法介绍
• 2.2 Qiao方程的延拓结构
• 2.3 变系数KdV方程的延拓结构
• 2.4 本章小结
• 第三章 Riccati型伪势在非线性发展方程中的应用
• 3.1 Riccati型方程与可积性质
• 3.2 Riccati型伪势在广义五阶KdV方程的应用
• 3.3 本章小结
• 第四章 Bell多项式及其在非线性系统中的应用
• 4.1 Bell多项式简介及与双线性导数的关系
• 4.2 构造非线性方程双线性形式的算法及其实现程序包
• 4.3 软件包PDEBell的应用实例
• 4.4 本章小结
• 第五章 分数阶与四维混沌系统
• 5.1 分数阶微分简介
• 5.2 分数阶广义Lorenz标准型
• 5.3 一个新的四维混沌系统
• 5.4 本章小结
• 第六章 总结与展望
• 6.1 本文工作总结
• 6.2 未来工作展望
• 附录A 求解伪势过程中所出现的方程
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间发表论文和参与科研情况