一类变系数模型局部最小二乘估计的若干大样本性质

论文摘要

变系数模型（Varying-coefficient Model）是由Cleveland,Grosse,和Shyu（1992）与Hastie,Tibshirani（1993）年提出的。在非参数回归中,对函数的估计已包括核估计、局部多项式、样条估计等方法,这些方法在处理一维数据时显示了强大的处理能力,但是随着维数的增加,高维领域所包含的样本减少,较难估计一般的多元函数。变系数模型是现代数理统计中针对处理高维数据时遇到的困难,即“维数祸根”（Curse of Dimension）应运而生的模型。它既部分继承了非参数回归的稳定性特点,同时又保留了线性模型的直观、容易解释等特点。同时,许多其他模型如:线性模型、部分线性模型（Hechman 1986,Speckman 1988）、可加模型（Hastie and Tibshkani 1990）及动态广义线性模型（West 1985,Cleveland 1991）等都可以看成变系数模型的特殊形式,因此对它的研究近年来逐渐受到人们的极大的关注并且被广泛而深入的应用于生物、医学等方面。 本文主要考虑了一类重要的变系数模型: yi=sum from j=1 to p βj（ti）xij+εi,（1≤i≤n）。这里（xi,ti）是数据点列,且xip=1,（1≤i≤n）,βj（ti）（j≥1）是未知的函数;εi是独立同分布（i.i.d）的随机变量。与Fan and Zhang（2000）在[16]中利用局部最小二乘标准的两步估计量来估计系数函数不同,考虑到这一类变系数模型本身的特点,本文先保留第p个分量的函数,以至于尽量减少损失模型的信息,仅对前p-1个函数系数展开,利用局部最小二乘方法得到前p-1个函数的估计量（?）（to）,再代回到原模型中求得第p个函数的估计（?）p（t）;同时本文也构造了方差σ2的估计量（?）2,并且讨论了这些估计量的若干大样本性质。本文的主要内容为:首先介绍了常用的非参数回归方法、变系数模型的发展和研究现状以及本文的主要结果、引理和假设条件。其次讨论了在数据点为固定设计点列、误差随机变量同、异方差场合下,估计量的渐进正态分布。另外在误差随机变量独立同分布下,本文还讨论了所构造的估计量收敛到真实值的重对数率和Beery-Esseen界。最后对估计量在Matlab中进行模拟研究。 通过本文的讨论从理论上说明在数据为固定设计点列情况下,对此一类重要的变系数模型,文中所给出的局部最小二乘估计具有优良的渐

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 综述
• §1.1 引言
• §1.2 变系数模型的发展及研究现状
• §1.3 本文的估计方法和主要结果
• 第二章 预备知识
• §2.1 模型的基本假设
• §2.2 重要引理
• 第三章 局部最小二乘估计的渐近正态性
• §3.1 误差随机变量同、异方差下估计量的渐近正态性
• §3.2 主要定理的证明
• 第四章 局部最小二乘估计的重对数律（LIL）
• §4.1 引言及预备
• §4.2 定理的主要证明
• 第五章 局部最小二乘估计量的Berry-Esseen界
• §5.1 引言及主要结果
• §5.2 主要定理的证明
• 第六章 数值模拟
• j（t），（1≤j≤p-1）的拟合'>§6.1 对函数系数β_j（t），（1≤j≤p-1）的拟合
• p（t）的拟合'>§6.2 对函数系数β_p（t）的拟合
• §6.3 本章小结
• 参考文献
• 附录一 攻读硕士学位期间发表的学术论文
• 附录二 致谢
• 附录三 湖南师范大学学位论文原创性声明