广东省深圳实验学校高中部518055
题目：等差数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为Sn和Tn，且=，求=____。
分析：应该说，本题可看成由求的拓展，而相对来说是较容易求解的，因为在中n都等于5，分子和分母中的项数是同步的，并且条件中项数也是同步的。现在放宽条件让项数不同步，因此也构成了本题求解的难点。
先让我们来看看是怎么求解的，我们常用这样的解法：寻找结论与条件之间的联系，结论要求的是通项的比，而条件是前n项和的比。在等差数列中通项与前n项和的比的关系，首推Sn=，再结合等差数列的性质“等差数列｛an｝中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq”，可得=＝==，只要将n=9代入即可得到结果。同时只要将中的5换成n，9换成2n-1，结果和过程均可推广，即得=。
然而，如果求呢？上述方法还有效吗？一般认为，由于项数不同步了，而上面的解法比较依赖于项数的同步，因此宣布方法失效，进而寻求其他解法。对上面解题过程进行反思，数列的通项与前n项和的关系还有没有其他表示？如，an=Sn-Sn-1（n≥2）。因此=，但S5、S4、T4、T3怎么消除？如果能表示出Sn、Tn也许就可以，条件给出的是=，反过来也可以把Sn、Tn表示出来吗？在等差数列中数列的前n项和总可以写成Sn=an2+bn的形式，而=是一次分式的形式，所以上式应该被约去了kn，所以可以设Sn=kn（3n-2），Tn=kn（2n-1）那么==＝。可以说到这里问题已得到了解决，那么还有没有反思的空间呢？波利亚说过，“没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨和钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。”
若把用公式Sn=称为方法1，用公式an＝Sn-Sn-1（n≥2）称为方法2。我们来分析一下方法2能成功的因素，和方法1不能成功的因素。方法2之所以能成功是因为成功的表示了Sn、Tn，从而摆脱了项数不同步的困难，从思考过程来看方法2是对方法1不足之处（无法摆脱项数不同步）的改进。然而方法1是否真的不能克服这个不足呢？是方法的局限性，还是应用的功力不够？是不是自身的认识上的封闭？
方法2之所以成功是因为成功地表示了Sn=kn（3n-2）,Tn=kn（2n-1），而与公式an=Sn-Sn-1（n≥2）的结合是不是必然的呢？可不可以与公式Sn=进行结合使用呢？尝试一下，=＝，若进一步变形===是有问题的，最后的式子与前面根本不等，原因是系数的约不掉。但是同时乘上问题不就解决了吗？所以有===×=×，再结合Sn=kn（3n-2）,Tn=kn（2n-1）代入，=×=×＝，并且如果把5换成n、4换成m的话，此过程和结果亦可推广得到，=＝＝×=×=×＝。
比较==与=×=，发现它们结果的形式结构完全一致，项数条件的放宽却没有改变结果形式的结构，在此处我们感受到了数学的“统一性”。并且这个结果在填空题中，我们可以方便的加以运用，若把题目改为等差数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为，Sn和Tn且=，求=______和=______。那么直接代入得，=＝，=＝。
总结：回顾一下整个研究的过程，从惑到不惑，从复杂到简单，从思维激烈到归于平静，从动态过程到静态结果，其中是不是浸透着一点数学的“统一性”呢？形式千变万化的数学世界里，竟能达到如此和谐统一，让人不觉惊叹、兴奋不已。我想，这正是数学的魅力所在，难道不是吗？