对角占优性及其非线性推广若干问题研究

论文摘要

在均衡论、投入产出分析、轴承油墨振荡的研究中所产生的线性方程组的系数矩阵通常都是M-矩阵;在控制论、神经网络大系统理论以及线性时滞系统理论中,相应系统的稳定性往往表现为所对应线性方程组的系数矩阵是否为H-矩阵,这些矩阵都有某种意义下的对角占优性;在诸如计算电磁学、计算流体力学、最优化、油气勘探等科学计算与工程计算中,相关学科中的基本原理都表现为偏微分方程或积分方程,而这些方程常常通过差分方法、有限元法、边界元法、区域分解算法等方法处理后将原方程化为大规模的稀疏的线性方程组,这些方程组解的存在性、唯一性,相关解法的收敛性、稳定性也都与系数矩阵的某种对角占优性有关,由此可见矩阵对角占优性对大量工程问题的实际计算具有重要性。当我们研究的问题是线性问题时,矩阵的对角占优性的重要性和有效性已是众所周的了,当我们面临的是非线性过程时,非线性对角占优性（矩阵对角占优性的非线性推广）自然也有其相应的重要性。这便构成了本研究的两个主题:详细地研究相当重要而应用广泛的广义对角占优矩阵的实用判别问题,同时对相关非线性对角占优性作深入研究。全文共六章,分四个部分:非奇异H-矩阵的实用判别问题:用不同的模式对矩阵行指标集进行划分利用矩阵自身元素刻画出大量的非奇异H-矩阵的实用判别条件,数值例子说明了所给出判别法的优势,同时利用所得研究结果给出了在Matlab环境下实际判别非奇异H-矩阵的程序。矩阵对角占优性的非线性推广问题:首先,我们对非线性对角占优性的相关概念和已有的相关结果作了扼要介绍;其次,对该领域中一个公开问题:“利用多元向量值函数的雅可比矩阵的对角占优性来研究多元向量值函数自身的对角占优性”给出解答;最后,提出了一种新的非线性对角占优映射的概念,并研究了该类非线性对角占优映射的性质。非线性Schur-补问题: Schur-补这一概念在矩阵理论、数值分析等相关领域中都有重要的应用,已成为线性理论的重要工具;在非线性理论中是否有相应的概念作为研究非线性问题的工具仍有待研究,在此我们尝试性地引入了非线性Schur-补的概念,研究了非线性Schur-补的性质,并将此概念应用于非线性特征值求解问题。广义Perron-补的相关问题: Perron-补概念是美国数学家Carl D.Meyer在研究有限态马尔柯夫链的稳态分布向量时所引入的概念,藉此工具解决了大型尔柯夫链的稳态分布向量的实际计算问题,同时对Perron-补自身性质的研究也是一个重要问题,在此我们提出了广义Perron-补的概念,并研究了广义Perron-补的性质。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 所研究的问题及其背景
• 1.1.1 矩阵对角占优性
• 1.1.2 特殊矩阵类的非线性推广及其性质研究
• 1.1.3 非线性Schur-补及其性质研究
• 1.1.4 广义Perron-补及其性质研究
• 1.2 研究方法与创新点
• 1.2.1 所用研究方法
• 1.2.2 本文创新点
• 1.3 论文结构安排
• 第二章 非奇异H?矩阵的判别条件
• 2.1 引言
• 2.2 基于模式一的非奇异H?矩阵的判别条件
• 2.2.1 判别条件
• 2.2.2 数值例子
• 2.3 基于模式二的非奇异H?矩阵的判别条件
• 2.3.1 判别条件
• 2.3.2 数值例子
• 2.4 基于模式三的非奇异H?矩阵的判别条件
• 2.4.1 非奇异H?矩阵的判别条件
• 2.4.2 基于模式三的判别非奇异H?矩阵的Matlab命令集
• 2.4.3 数值例子
• 2.5 本章小结
• 第三章 非线性对角占优映射性质研究
• 3.1 引言
• 3.2 符号、定义
• 3.3 研究现状
• 3.4 广义严格对角占优映射的刻画定理及其新性质
• 3.5 其它形式的非线性广义严格对角占优性
• 3.6 本章小结
• 第四章 非线性Schur补及性质研究
• 4.1 引言
• 4.2 非线性Schur-补的定义
• 4.3 多元向量值函数的Jacobian矩阵的简单性质
• 4.4 非线性Schur-补的性质
• 4.5 非线性Schur-补的应用
• 4.6 本章小结
• 第五章 广义Perron-补及其性质研究
• 5.1 引言
• 5.2 符号、定义
• 5.3 广义Perron-补的性质
• 5.4 数值算例
• 5.5 本章小结
• 第六章 结论
• 致谢
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果