纳什均衡与广义均衡在弱凸凹条件下的算法及应用

论文摘要

1994年,美国经济学家约翰·纳什（John Nash）与其他两位博弈理论家共同赢得了经济学界的最高荣誉——诺贝尔经济学奖。这标志着纳什均衡（Nash equilibrium）理论得到了学术界的肯定。一般认为现代博弈论（Game Theory）的主要内容是非合作博弈理论,而非合作博弈理论的核心是纳什均衡。用纳什均衡来分析和解决经济、管理、政治、法律等多种领域的现象和问题,已成为引人注目的主要学术潮流。本文从介绍纳什均衡、标准纳什均衡和均衡问题的概念入手,通过构造Nikaido-Isoda函数和最优反应函数和Gap函数,将纳什均衡问题转化为非线性最优化问题,从而可以进一步应用优化领域中的相关理论工具对该问题进行求解。笔者深入研究了不动点,Gap函数和纳什均衡问题的内在联系,为后面的收敛性证明提供理论依据。在此基础上,介绍了在弱凸凹条件下纳什均衡的松弛算法,并深入探讨了纳什均衡松弛算法中步长的设计。传统的纳什均衡理论开始,研究了基于弱凸凹函数的忪弛算法。在常数步长和最优步长的基础上,笔者深入探讨了纳什均衡松弛算法中步长的设计。针对其求解时间过长或迭代步数过多的问题,笔者引入了第三种步长的构造方法,并通过两个算例具体演示了三种算法的效率比较。与已有的两种算法相比,新算法在计算时间和迭代次数方面都有显著提高。在理论研究方面,笔者根据不动点定理和弱凸凹函数等相关理论证明了该算法的收敛性。在应用研究方面,笔者将该算法引入电力市场竞争模型中,讨论了在非合作和合作条件下算法的应用情况,深入分析了算法在大系统问题求解中的收敛性和稳定性。通过对算例的优化计算结果可以看出,笔者引入的算法比两种常规的算法优越,计算速度快,实用性强。笔者基于对纳什均衡理论和广义均衡理论的深入理解和研究,进一步将将纳什均衡的松弛算法进一步推广到广义均衡问题的求解中。在理论上,笔者不仅提供了该算法的收敛性证明,并对算法的误差界进行探讨。并最后将该算法应用于变分不等式的求解中。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第0章 绪言
• 第1节 研究背景
• 1.1.博弈论概述
• 1.2.博弈论发展回顾
• 1.3.博弈论的分类
• 第2节 研究目标
• 第3节 相关研究综述
• 第4节 研究方法和本文结构
• 第1章 纳什均衡相关定义与性质
• 第1节 纳什均衡的定义
• 1.1.纳什均衡点
• 1.2.标准纳什均衡点
• 1.3.均衡问题
• 第2节 相关函数的定义与性质
• 2.1.Nikaido-Isoda函数
• 2.2.最优反应函数
• 2.3.Gap函数
• 第3节 Nash均衡,不动点与Gap函数的关系
• 第4节 总结与启示
• 第2章 非凸条件下的纳什均衡算法
• 第1节 松弛算法
• 1.1.算法描述
• 1.2.算法步骤
• 1.3.步长
• 第2节 收敛性证明
• 2.1.弱凸与弱凹
• 2.2.严格下降方向
• 2.3.线性最优步长下算法的收敛性证明
• 第3章 数值算例与算法比较
• 第1节 有相同支付函数的二人博弈
• 第2节 不同支付函数的例子
• 第4章 纳什均衡算法在电力市场中的应用与算法效率分析
• 第1节 电力市场中的纳什均衡模型
• 第2节 模型计算
• 2.1.非合作下的纳什均衡解
• 2.2.合作下的纳什均衡解
• 第3节 算法效率分析
• 第5章 广义均衡问题在弱凸条件下的性质和算法
• 第1节 松弛算法
• 1.1.定义
• 1.2.算法描述
• 1.3.步长
• 第2节 算法收敛性证明
• 第3节 算法误差界分析
• 第4节 均衡问题算法在变分不等式中的应用
• 结论与展望
• 参考文献
• 致谢