小波在偏微分方程数值解中的应用

论文摘要

以解决实际问题为出发点的小波分析,是对傅里叶分析的发展和完善,它继承了傅里叶分析和短时傅里叶分析的优点,同时又弥补了它们的缺陷。小波具有良好的局部定位特性和多分辨率分析能力,这使得它被广泛地应用于科学研究和工程技术应用等各个领域,对它的理论和实际应用的研究都有着重要意义。作为时频分析新技术的小波分析自问世以来一直是人们研究的热点,近些年来,小波在偏微分方程数值解中的应用越来越受到重视。本文主要研究小波分析在偏微分方程数值解尤其是含有时间变量的发展方程数值解中的应用。本文主要所做的工作是:1.介绍了小波分析的概况以及小波分析的基本理论知识,包括小波定义、连续小波变换、离散小波变换、正交小波以及多分辨率分析。综述了小波在偏微分方程数值解中的应用研究,尤其是Haar小波积分方法在(积)微分方程、系统等方面计算的应用2.研究学习了Haar小波的性质及其积分算子矩阵,讨论研究了一类发展方程即Burgers方程和Fisher方程的Haar小波积分求解方法,并将其应用在一般初边值条件的Fisher方程的数值模拟上,数据及图形验证了此方法的简便性、可行性3.在研究一类初边值问题的发展方程的Haar小波积分方法的基础上,讨论研究了将此方法应用到一维二阶双曲电报方程数值求解,给出了电报方程的Haar小波积分方法,数据及图形均表明此方法的可行性和有效性,并对Haar积分方法做了进一步的改进,给出了电报方程的Legendre小波积分解法和Chebyshev小波积分解法,模拟效果显示这两种方法比Haar小波的逼近效果要更好,收敛更快,表明由正交多项式衍生的正交小波在工程应用中也具有重要作用。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 小波分析的产生与发展
• 1.2 小波在偏微分方程数值解中的应用研究
• 1.3 Haar 小波积分方法的应用研究现状
• 1.4 本文主要研究结构
• 第二章 小波的基础知识
• 2.1 小波函数
• 2.2 连续小波变换
• 2.2.1 小波变换的时频特性
• 2.2.2 小波变换的性质
• 2.3 离散小波变换
• 2.3.1 正交小波
• 2.4 多分辨分析
• 2.5 常用的小波
• 第三章 一类发展方程的 Haar 小波解法
• 3.1 Haar 小波及其积分算子矩阵
• 3.2 Haar 小波逼近函数误差分析
• 3.2.1 Haar 小波逼近
• 3.2.2 误差分析
• 3.3 Burgers 方程的Haar 小波积分法
• 3.3.1 Burgers 方程
• 3.3.2 Haar 小波积分数值解法
• 3.3.3 数值模拟效果
• 3.4 Fisher 方程的Haar 小波积分方法
• 3.4.1 Haar 小波积分数值解法
• 3.4.2 数值算例
• 3.5 本章小结
• 第四章 电报方程的 Haar 小波积分方法
• 4.1 电报方程
• 4.2 电报方程的 Haar 小波积分方法
• 4.3 数值算例
• 4.4 本章小结
• 第五章 电报方程的 Legendre 小波和 Chebyshev 小波积分方法
• 5.1 勒让德小波及其积分矩阵
• 5.1.1 Legendre 小波
• 5.1.2 Legendre 小波积分算子矩阵
• 5.2 Chebyshev 小波及其积分算子矩阵
• 5.2.1 Chebyshev 小波积分算子矩阵
• 5.3 电报方程的 Legendre 小波和 Chebyshev 小波积分解法
• 5.4 数值算例
• 5.5 本章小结
• 第六章 结论
• 致谢
• 参考文献
• 作者攻硕期间取得的研究成果