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法形式及I-方法在偏微分方程中的应用

2020-11-28阅读(990)

法形式及I-方法在偏微分方程中的应用

论文摘要

在本文中,首先我们将致力于应用I-方法研究紧致无边Riemannian流形上立方非线性Schr（o|"）dinger方程的性质,然后用法形式方法探讨无限齐次波管R×M上Klein-Gordon方程光滑小初值解的整体存在性,其中（M,g）是Zoll流形,或者是紧致旋转曲面,最后将结合I-方法和类似于法形式方法的共振分解讨论R2上径向对称初值Zakharov方程组的有限时间破裂解的L2-集中现象。作为本文的大前提,我们将概括全空间中Schr（o|"）dinger方程的解的性质,主要包括H1-临界、次临界,L2-临界、次临界,解的局部和整体性结果、方法的总结和归纳,以及有限时间破裂解的L2集中现象的一些基本的想法和发展过程。之后,我们将考虑紧致无边Riemannian流形上立方非线性Schr（o|"）dinger方程解的整体性质,包括:1.高正则性解随时间的演化速度的估计;2.用I-方法考虑低正则性解的整体存在性条件。接着,我们将用法形式方法证明无限齐次波管R×M上Klein-Gordon方程光滑小初值解的整体存在性,其中（M,g）是Zoll流形,或者是紧致旋转曲面。我们还将对R2×M的情形做一个简单的阐述。最后,我们将结合类似于法形式方法的共振分解和I-方法给出R2上径向对称初值Zakharov方程组的有限时间破裂解的L2-范数集中现象的证明。并且简单介绍R上解的整体存在性结论.从而体现Schr（o|"）dinger方程和Zakharov方程组在性质上的一些类似之处。

论文目录

  • 致谢
  • 摘要
  • Abstract
  • 目录
  • 第一章 绪论
  • 1.1 非线性Schr（o|¨）dinger方程
  • n'>1.1.1 全空间的情形,即Ω=Rn
  • 1.1.2 Ω是n≥2维无边紧致Riemannian流形的情形
  • 1.2 非线性Klein-Cordon方程
  • 1.3 Zakharov方程组
  • 1.4 本文的结构
  • 第二章 全空间上非线性Schr（o|¨）dinger方程局部和整体性质的总结
  • 2.1 引言
  • 1的情况'>2.2 H1的情况
  • 2.2.1 局部适定性
  • 2.2.2 整体存在性
  • 2的情况'>2.3 L2的情况
  • 2.3.1 一些其它的情形
  • 第三章 无边紧致Riemannian流形上高正则性整体解的演化速度的估计
  • 3.1 引言
  • 3.2 记号
  • s,b的一个非线性估计'>3.3 关于Xs,b的一个非线性估计
  • 3.4 定理3.1.2的证明
  • 3.4.1 估计（ⅲ）
  • 3.4.2 估计（ⅱ）
  • 第四章 无边紧致Riemannian流形上低于能量范数的解的整体存在性
  • 4.1 引言
  • 4.2 记号
  • 4.3 局部适定性
  • 4.4 能量的改变
  • 4.5 证明估计（4.4.20）
  • 4.5.1 对Ⅰ的估计
  • 4.5.2 关于Ⅱ的估计
  • 4.6 证明估计（4.4.21）
  • 4.7 定理4.1.1的证明
  • 4.8 附录
  • 4.8.1 引理4.3.2的证明。
  • 4.8.2 引理4.5.1的证明。
  • 第五章 无限齐次波管上一维非线性Klein-Gordon方程的整体存在性问题
  • 5.1 引言
  • 5.2 记号和归约
  • 5.3 一些以往结论的总结
  • 5.3.1 []里结论的小结
  • 5.3.2 []里结论的小结
  • 5.4 主要结论的证明
  • 5.4.1 能量不等式
  • 5.4.2 能量的增长
  • 5.4.3 完成命题5.2.1的证明
  • 第六章 Zakharov方程组低于能量范数的解的整体性质
  • 6.1 引言
  • 6.2 记号,范数和估计
  • 6.3 局部存在性
  • 6.4 关于能量的估计
  • 6.4.1 命题6.4.1的证明
  • 6.4.2 命题6.4.2的证明
  • 6.5 定理6.1.2的证明
  • 6.6 关于1维的情况
  • 6.6.1 准备工作
  • 6.6.2 定理6.1.5的证明
  • 第七章 问题和展望
  • 参考文献
  • 简历
  • 发表和录用的文章目录

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