论文摘要
本论文研究用配位法尤其是间接数值解法处理带Hilbert核奇异积分方程的数值解。文章分为两个部分。第一部分为第一章到第四章，主要建立奇异积分数值解所需要的基础。第一章综述了奇异积分方程数值解法的国内外研究现状，给出了配位法和间接数值解法的历史和发展趋势。第二章和第三章叙述了本文需要的解析函数边值问题和奇异积分方程的基本理论以及它们在平面弹性力学等方面的应用。第四章处理带Hilbert核的奇异积分的求积公式，这是奇异积分方程数值解法的前提。基于路见可、杜金元和Elliot等人所提出的奇异积分离散法框架，我们详细研究了一个求积公式的具体表示，讨论了其收敛性，并给出了具体的数值计算实例。第二部分包括第五到八章，进入奇异积分方程间接数值解的直接研究。首先对一般方程进行标准化，然后在归一化条件下进行简化标准化方程，就会得到等价的Fredholm方程（I+λM）y=F。在没有归一化之前，由于核的奇异性，奇异积分方程的解是不适定的，但是Fredholm方程有较为成熟的理论，如，由Fredholm方程的性质，可知，对于任何的F，方程可解的条件是， λ是一个正则值，否则， λ是一个特征值。接下来这一步是本方法的关键：对Fredholm方程中的算子建立关于权函数的求积公式。具体作法是，对积分进行离散化时使用了对应积分核的权函数的正交多项式的零点作为插值节点得到拟插值型的数值求积公式，但同时，对未知函数我们却使用变换权函数的正交多项式的零点作为Lagrange插值的节点，从而得到一个性质优异的离散化算子，然后把δnT作用在方程上，便得到了带Hilbert核奇异积分方程的间接数值方程组。这种配位法有效地避免了奇异积分中奇性核对数值计算敏感所带来的困难，使得本方法有较好的收敛精度和收敛速度。数值方程是一个系数矩阵较为稀疏的线性方程组，最后对方程组求解，就可以得到奇异积分方程的间接数值解，进而得到逼近解。我们验证了这种方法的可行性和收敛性，并用该方法详细计算实际的例子，包括具体的算法和收敛速度分析。
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标签：奇异积分方程论文; 解析函数边值问题论文; 配位法论文; 间接数值解法论文;