球面中子流形的几何与拓扑研究

论文摘要

整体微分几何中一个重要的研究课题是Lq-pinching（q≥n／2）问题，它主要研究流形在Lq-pinching条件下的几何结构与拓扑结构。我们这里主要讨论了球中子流形的Ln-pinching问题以及更一般的Lq-pinching（q≥n／2）问题，和在这些条件下的拓扑球面定理。主要研究工具是子流形的Sobolev不等式、Morse理论和积分估计。首先我们得到了球面中子流形几何结构的下述定理：定理A设Mn（n≥2）是Sn+p（1）中定向的紧致具有平行平均曲率子流形。记M的第二基本形式模长平方和平均曲率分别为S，H。如果‖S-nH2‖n＜G1（n），其中C1（n）是仅依赖于n的正常数，则S=nH2，即M为全脐子流形，从而Mn等距于球M=Sn(1／（1+H2）1／2)。定理B设Mn（n≥2）是Sn+p（1）中完备的具有平行平均曲率子流形。记M的第二基本形式模长平方和平均曲率分别为S，H。如果‖S-nH2‖n＜C2（n），其中C2（n）是仅依赖于n的正常数，则S=nH2，即M为全脐子流形，从而Mn等距于球M=Sn(1／（1+H2）1／2)。更一般的，我们还有：定理C设Mn（n≥3）是Sn+p（1）中定向的紧致具有平行平均曲率子流形。记M的第二基本形式模长平方和平均曲率分别为S，H。如果‖S-nH2‖q＜C（n，q，H，V），其中q≥n／2，C（n，q，H，V）是与n，q，H，V有关的正常数，则S=nH2，即M为全脐子流形，从而Mn等距于球M=Sn(1／（1+H2）1／2)。特别的，当q=n／2时，文章[15]中的结论就是上述定理3的推论。对于球面中子流形的拓扑结构，我们得到了以下结果：定理D设Mn是闭的连通的n维黎曼流形，φ：M→Sn+p（1）是等距浸入。则存在一个只和n，p有关的正常数D（n，p），使得‖S-nH2‖qn／2≥D（n，p）Vn-2q／（2q） sum from n=i=1 to n-1βi。其中βi是第i个Betti数，q＞n／2，D（n，p）=pnn／2（n-1）（2-n）／2ωn+p-1ωp-1-1，V是M的体积，ωn为Rn中单位球的体积。特别的，如果‖S-nH2‖qn／2＜D（n，p）V（n-2q）／（2q），则M同胚于单位球Sn（1）。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• §1 绪言
• §2 记号和基本公式
• §3 几何不等式
• §4 主要定理的证明
• 结论
• 参考文献
• 致谢