压缩采样中匹配追踪约束等距性分析及其应用

论文摘要

压缩采样（Compressive Sampling, CS）理论是近几年信号处理领域兴起的前沿课题。与传统采样不同,压缩采样把信号压缩融合到采样中,其采样频率可远低于奈奎斯特频率,有效降低了信息传输、存贮的数据量。压缩采样研究中的核心问题是如何从少量的观测值重构原始信号。研究表明如果测量矩阵满足约束等距性（Restricted Isometry Property, RIP）,准确重构信号是可能的。在已有的重构方法中,匹配追踪（Matching Pursuit）类算法因为结构简单、复杂度低引起了广大研究者的关注。本论文首先基于约束等距性,对匹配追踪中的重要算法正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）算法进行理论分析,针对不同应用提出多种改进算法。本论文的工作主要体现在以下几个方面：1)在压缩采样理论框架中借助RIP分析了OMP算法的收敛性。OMP算法把观测向量看作字典中原子表示的信号,通过迭代每次选取与残差信号最匹配的原子。我们从原子与残差信号的内积出发,证明当测量矩阵满足RIP时OMP算法可每次选出正确原子。进一步的分析表明,重构幅值快速衰减的稀疏信号对RIP的要求更宽松,因此OMP算法更适合重构此类信号。此外,针对块稀疏信号,我们采用相似的方法证明了OMP的扩展算法块正交匹配追踪（Block OMP, ROMP）准确重构信号的充分条件。结果表明重构块稀疏信号时,BOMP相比OMP具有较好的性能。OMP算法已经在众多领域得到了广泛应用,本文的分析和结论为其应用及改进提供了理论基础。2)针对部分支撑集已知信号的重构提出了正交匹配追踪-阈值收缩（OMPThresholding, OMP-TH）算法。OMP-TH算法的主要思想是找到包含真实支撑集中所有元素的集合,接着用集合相应原子逼近观测信号。因为没有表示观测信号的原子逼近系数接近零值,去除这些原子即可得到参与表示观测信号的原子,它们的索引构成重构信号的支撑集。我们证明了初始估计集合中包含的真实支撑集元素越多,找到所有原子对测量矩阵的RIP要求越宽松,因此准确重构信号需要观测数越少。实验结果表明,OMP-TH算法通过少量观测量即可有效地准确重构信号。3)针对压缩采样图像的重构提出了结合小波域马尔可夫树模型的匹配追踪重构算法MT-OMP。压缩采样中通过OMP算法重构信号时只对原始信号的稀疏性作了假设。众所周知,图像经过小波变换后存在很多统计上的特性,例如大幅值系数往往集中在各尺度相同的位置。MT-OMP算法试图利用图像在小波域的统汁特性协助重构。MT-OMP算法在OMP算法作出的改进在于选取原子时结合马尔可夫树模型。实验结果表明MT-OMP算法可以更准确的选出大幅值系数相应原子,因此可以更准确的重构图像。在观测数较少的情况下,MT-OMP重构图像质量相比其它算法有明显改善。4)提出一种稀疏度自适应子空间追踪算法SASP。子空间追踪（Subspace Pursuit, SP）算法考察多个原子与残差信号的匹配程度,具有较好的重构性能,但是子空间追踪算法需要原始信号中非零值元素数已知,否则重构性能会下降。SASP算法针对子空间追踪算法的不足,先通过一种稀疏度估计方法得到信号稀疏度的初始估计,再在迭代的过程中不断增加对信号稀疏度的估计。SASP算法成功解决了SP算法需要信号稀疏度已知的问题。实验结果表明SASP算法运算量较低且具有较好的重构能力。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 压缩采样研究现状
• 1.3 本文研究内容与组织结构
• 第2章 匹配追踪相关理论及方法
• 2.1 引言
• 2.2 约束等距性
• 2.3 最稀疏解的唯一性
• 2.4 典型匹配追踪算法
• 2.5 实验及分析
• 2.6 本章小结
• 第3章 正交匹配追踪约束等距性分析
• 3.1 引言
• 3.2 正交匹配追踪算法
• 3.3 任意K-稀疏信号重构
• 3.4 强衰减K-稀疏信号重构
• 3.5 块稀疏信号重构
• 3.6 本章小结
• 第4章 信号部分支撑集已知的匹配追踪
• 4.1 引言
• 4.2 问题描述
• 4.3 OMP-TH算法
• 4.4 实验及分析
• 4.5 本章小结
• 第5章 结合信号模型的匹配追踪
• 5.1 引言
• 5.2 小波域马尔可夫树模型
• 5.3 MT-OMP图像重构算法
• 5.4 实验及分析
• 5.5 本章小结
• 第6章 稀疏度自适应子空间追踪
• 6.1 引言
• 6.2 子空间追踪算法
• 6.3 稀疏度自适应子空间追踪
• 6.4 实验及分析
• 6.5 本章小结
• 第7章 总结与展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间撰写的学术论文
• 致谢