上官红军
摘要：本文着重介绍了等差数列与等比数列的综合问题以及数列与函数、不等式的综合问题。
关键词：等差数列；等比数列；函数
数列问题，历来是高考的重点，数列与函数、方程、不等式的交汇问题历来是高考的热点，并且选择题、填空题、解答题三种题型都有可能涉及。这类试题一般较为灵活，尤其是解答题，常常承担把关的任务，因此往往具有一定的难度。
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分析1：要求f(n)，关键是确定项数，这可以通过分析指数而得到。
解法1：易知，指数构成等差数列。
设3n+10是这个指数构成的等差数列中的第项，
则1+3(k-1)=3n+10，故k=n+4。
于是，f(n)是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，
所以，选D。
分析二：利用特殊与一般的思想。
解法二：令n=0，则，对照四个选项，只有D成立。
归纳小结：此题考查等差数列的通项、数列等比关系的判断以及等比数列求和。此题求解中常常出错的地方是未注意项数的判断，错误地按照项求和。解法一是按常规解法，求解的关键在于准确地判断这个和式的项数，只要项数确定了，便可以按照等比数列的求和公式来求。相比之下，解法二显得明快简捷，充分体现了特殊与一般思想的价值。
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归纳小结：此题考查了等比数列中连续三项的表示法以及平均值不等式的应用。求解时往往因为不能恰当地表示等比数列前3项，导致运算繁琐而出错。此外，利用平均值不等式时，也常常因为只关注时的情况而使解答不全面，进而得出错误的选项。事实上，平均值不等式的应用是有条件的：涉及的数必须都是正数。因此，在未知正负的情况下，取绝对值后才能使用平均值不等式。
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归纳小结：此题是求数列中指定项的问题。求解时由于想不到将所求式中的下标改写成条件式中的下标的形式，因而常常使求解陷入困境。事实上，当欲求的式子的形式与条件中相关式子的形式完全一致时，结果也必然是一致的。这既是对数学形式化的追求，也是特殊与一般思想的反映。
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分析：对于（1），欲求数列的通项与前项和，只需求出公差即可。对于（2），可用反证法。
都不可能成等比数列．
归纳小结：此题主要考查了等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列以及等比中项的概念，考查方程思想、运算求解能力以及利用反证法进行推理论证能力．反证法是一种间接证明的基本方法，其证明过程包括“反设、归谬、存真”三个步骤．一般地，当正面推证比较困难时，利用反证法常能较快奏效．
例5（2009全国Ⅱ）设数列的前项和为已知
（1）设，证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式。
分析：对于（1），注意到与有关，因此求出是证明数列是等比数列的前提，这可以通过与的关系来解决。对于（2），同样注意到与的关系，通过反求，因此求出是求解的关键。
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归纳小结：本题着重考查递推关系、等差数列和等比数列的判定以及利用构造法求解数列通项的问题。第（1）问较为简单，只需利用已知条件寻找与的关系即可。这里用到的数列通项与前项和的关系是数列中的重要关系，应当熟练掌握。第（2）问有一定难度，往往因为看不出式子的结构特征而无法构造与有关的新数列，因而求不出的结果。事实上，这个递推式特征鲜明，是已知，求的问题，处理的常用方法是将条件式变形，构造一个与有关的等差数列或等比数列，然后再求解。一般地，若，则两边除以，即得一个公差是的等差数列；若，则两边除以后，两边再同减去，即得一个公比是的等比数列。
三、本专题总结
在本专题学习中，我们着重介绍了等差数列与等比数列综合问题以及数列与函数、不等式的综合问题。这些问题都是高考数列的典型问题。复习中，我们应当领会等差数列和等比数列的有关知识，通过典型的综合问题求解，熟练作差叠加、作商累乘、逆序相加、错位相减等重要的数列运算技能，关注递推关系，善于运用方程的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、化归与转化的思想解决问题，逐步培养自己的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力。